课后作业(二十五)平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a＋c与b都是非零向量，则“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝03．下列命题中是真命题的是()①对任意两向量a、b，均有：|a|－|b|＜|a|＋|b|；②对任意两向量a、b，a－b与b－a是相反向量；③在△ABC中，AB＋BC－AC＝0；④在四边形ABCD中，(AB＋BC)－(CD＋DA)＝0.A．①②③B．②④C．②③④D．②③4．已知A、B、C三点共线，点O在该直线外，若OB＝λOA＋μOC，则λ＋μ的值为()A．0B．1C．2D．35．(2013·佛山调研)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋OC＝0，则△ABC的内角A等于________．8．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；1④若四边形ABCD是梯形，则AB与CD共线．三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，求实数m的值．10．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A、B、C三点共线．(2)若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A、C、D三点共线，求k的值．11．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．解析及答案1．【解析】若a＋b＋c＝0，则b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；若b∥(a＋c)，则b＝λ(a＋c)，当λ≠－1时，a＋b＋c≠0，因此“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的充分不必要条件．【答案】A2．【解析】由BC＋BA＝2BP知，点P是线段AC的中点，则PC＋PA＝0.【答案】B3．【解析】①假命题．∵当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a－b)＋(b－a)＝0，∴a－b与b－a是相反向量．③真命题．∵AB＋BC－AC＝AC－AC＝0.④假命题．∵AB＋BC＝AC，CD＋DA＝CA，∴(AB＋BC)－(CD＋DA)＝AC－CA＝AC＋AC≠0，∴该命题不成立．【答案】D4．【解析】因为A、B、C三点共线，所以AB＝kAC，∴OB－OA＝k(OC－OA)，所以OB＝OA＋kOC－kOA，∴OB＝(1－k)OA＋kOC，又因为OB＝λOA＋μOC，所以λ＝1－k，μ＝k，所以λ＋μ＝1.【答案】B25．【解析】若e1与e2共线，则e2＝λ′e1，∴a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b，若e1与e2不共线，设a＝μb，则e1＋λe2＝μ·2e1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】D二、填空题6．【解析】由图知，a－b＝BA＝e1＋(－3e2)＝e1－3e2.【答案】e1－3e27．【解析】由OA＋OB＋OC＝0，知点O为△ABC重心，又O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.【答案】60°8．【解析】由①得10a－b＝0，故①对．②对．对于③当x＝y＝0时，a与b不一定共线，故③不对．若AB∥CD，则AB与CD共线，若AD∥BC，则AB与CD不共线，故④不对．【答案】①②三、解答题9．【解】如题图所示，AP＝AB＋BP，∵P为BN上一点，则BP＝kBN，∴AP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)，又AN＝NC，即AN＝AC，因此AP＝(1－k)AB＋AC，所以1－k＝m，且＝，解得k＝.则m＝1－k＝.10．【解】(1)证明AB＝OB－OA＝a＋2b，AC＝OC－OA＝－a－2b.所以AC＝－AB，又因为A为公共点，所以A、B、C三点共线．(2)AC＝AB＋BC＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因为A、C、D三点共线，所以AC与CD共线．从而存在实数λ使AC＝λCD，即3a－2b＝λ(2a－kb)，所以k＝.11．3【解】如图，记AM＝，AN＝，则AM，AN都是单位向量，∴|AM|＝|AN|，AQ＝AM＋AN，则四边形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC.∵OP＝OA＋AP，由条件知OP＝OA＋λAQ，∴AP＝λAQ(λ∈[0，＋∞))，∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．4
