第五节椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和____________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数；(1)若____________，则集合P为椭圆；(2)若_____________，则集合P为线段；(3)若___________，则集合P为空集．等于常数2a＞|F1F2|2a＝|F1F2|2a＜|F1F2|2．椭圆的标准方程和几何性质性质范围____≤x≤____－b≤x≤b______≤y≤____－a≤y≤a对称性对称轴：_______；对称中心：______顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)离心率e＝∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2－aa－bb坐标轴原点1．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？【提示】离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．2．对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点．当点P(x0，y0)落在椭圆外、椭圆上、椭圆内时，|PF1|＋|PF2|与2a有怎样的大小关系？与方程有怎样的关系？【提示】当点P落在椭圆外时，|PF1|＋|PF2|＞2a，x20a2＋y20b2＞1；当点P落在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，x20a2＋y20b2＝1；当点P落在椭圆内时，|PF1|＋|PF2|＜2a，x20a2＋y20b2＜1.【解析】依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.【答案】D1．(人教A版教材习题改编)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．102．(2013·潮州质检)直线x－2y＋2＝0经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为()A.255B.55C.23D.12【解析】直线与坐标轴的交点为(－2，0)，(0，1)，c＝2，b＝1，∴a＝5，∴e＝255，故选A.【答案】A3．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率是12，焦距是8，则该椭圆的方程为________．【解析】由题意知ca＝12，c＝4，∴a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48，∴椭圆方程为y264＋x248＝1.【答案】y264＋x248＝14．(2012·四川高考)椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a>5)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．【解析】设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为x29＋y25＝1，所以c＝2，所以e＝ca＝23.【答案】23(1)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．(2)已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OP∥AB，PF1⊥x轴，|F1A|＝10＋5，求椭圆的方程．【思路点拨】(1)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1→⊥PF2→，进而得解．(2)注意到条件OP∥AB，PF1⊥x轴，必须借助点P的坐标沟通a，b，c间的联系，只需求直线OP的方程．【尝试解答】(1)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2.∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝9，因此b＝3.【答案】3(2)由题意，A(a，0)，B(0，b)，F1(－c，0)，O(0，0)． OP∥AB，∴kOP＝kAB＝－ba，因此直线OP的方程为y＝－bax，代入椭圆x2a2＋y2b2＝1，得x＝±22a，由PF1⊥x轴，知x＝－22a，从而－22a＝－c，即a＝2c，①又|F1A|＝a＋c＝10＋5②联立①，②，得a＝10，c＝5，∴b2＝a2－c2＝5.所以该椭圆方程为x210＋y25＝1.(2013·肇庆模拟)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为________．【解析】 a＞5，∴椭圆的焦点在x轴上，∴a2－25＝42，a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.【答案】441设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)...
