第七节抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．相等2．抛物线的标准方程与几何性质1．在抛物线的定义中，若定点F在直线l上，动点P的轨迹还是抛物线吗？【提示】不是．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点M(x1，y1)到焦点F的距离|MF|与坐标x1有何关系？【提示】抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－p2，根据抛物线的定义知|MF|＝x1＋p2.1．(人教A版教材习题改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B.1516C.78D．0【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.【答案】B2．(2013·汕头质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x【解析】因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.【答案】B3．(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．22B．23C．4D．25【解析】由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为xM＋p2＝2＋p2＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y20＝4×2，∴y0＝±22.∴|OM|＝4＋y20＝4＋8＝23.【答案】B4．双曲线x23－16y2p2＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．【解析】双曲线的左焦点坐标为(－3＋p216，0)，抛物线的准线方程为x＝－p2，∴－3＋p216＝－p2，∴p2＝16，又p＞0，则p＝4.【答案】4(1)(2013·惠州质检)设圆C与圆C′：x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆(2)(2012·重庆高考)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝2512，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________．【思路点拨】(1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到圆心的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．(2)由抛物线定义，将|AB|、|AF|转化为到焦点的距离，数形结合求解．【尝试解答】(1)设圆C的半径为r，又圆x2＋(y－3)2＝1的圆心C′(0，3)，半径为1.依题意|CC′|＝r＋1，圆心C到直线y＝0的距离为r，∴|CC′|等于圆心C到直线y＝－1的距离(r＋1)．故圆C的圆心轨迹是抛物线．(2)由y2＝2x，得p＝1，焦点F(12，0)．又|AB|＝2512，知AB的斜率存在(否则|AB|＝2)．设直线AB的方程为y＝k(x－12)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝k(x－12)代入y2＝2x，得∴x1＋x2＝1＋2k2，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝2512，因此x1＋x2＝1＋2k2＝1312，k2＝24.则方程(*)为12x2－13x＋3＝0，又|AF|＜|BF|，∴x1＝13，x2＝34.∴|AF|＝x1＋p2＝13＋12＝56.【答案】(1)A(2)56已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(72，4)，求|PA|＋|PM|的最小值．【解】设抛物线的焦点为F，则|PF|＝|PM|＋12，∴|PM|＝|PF|－12，∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，将x＝72代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±7， 7＜4，∴点A在抛物线的外部，∴当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值， F(12，0)，∴|AF|＝（72－12）2＋（4－0）2＝5，∴|PA|＋|PM|有最小值5－12＝92.(1)(2013·东莞质检)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48(2)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±42x【思路点拨】(1)由于准线与AB平行，将点P到直线AB的距离转化为焦点F到准线的距离，只需求P.(2)确定焦点，从而求出p值．【尝试解答】(1)设抛物线方程为y2＝2px，当x＝p2时，y2＝p2，∴|y|＝p，∴p＝|AB|2＝122＝6，又点P到AB的距离始终为6，∴S△ABP＝12×12×6＝36.(2)由题意知，抛物线C的焦点坐标为(－2，0)或(2，0)，∴p＝22，∴抛物线的方程为y2＝42x或y2＝－42x.【答案】(1)C(2)D设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F...
