§8.4直线与圆锥曲线位置关系的综合应用要点梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.基础知识自主学习由Ax＋By＋C＝0f(x，y)＝0，消元如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．Δ___0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．Δ___0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．Δ___0时，直线和圆锥曲线没有公共点．>=<2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝_____________或|P1P2|＝________________.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．1＋k2|x1－x2|1＋1k2|y1－y2|基础自测1．顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线经过点(3,－23)，过焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于M、N两点，则|MN|等于()A.13B．8C．16D．82解析设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)，根据已知条件12＝6p，∴2p＝4，则所求抛物线方程为y2＝4x，|MN|＝2psin245°＝8.B2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析 y2＝8x，∴Q(－2,0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y＝k(x＋2)， l与抛物线有公共点，∴方程组y2＝8x，y＝k(x＋2)，有解，即k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0有解，∴Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0，即k2≤1.∴－1≤k≤1.答案C3．已知(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程为()A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y＋4＝0D．x＋2y－8＝0解析设l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1.两式相减，得kAB＝y1－y2x1－x2＝－9(x1＋x2)36(y1＋y2)＝－2×44×2×2＝－12.∴l的方程为：y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.D4．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则|AB|等于()A.127B.247C.487D.967解析由3x2＋4y2＝48得x216＋y212＝1,∴a2＝16,b2＝12，则c＝a2－b2＝2.过椭圆左焦点F(－2,0)且斜率为1的直线方程为y＝x＋2，将其代入3x2＋4y2＝48整理得7x2＋16x－32＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝(a＋ex1)＋(a＋ex2)＝2a＋e(x1＋x2)＝8＋12×(－167)＝487.C5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A．3B．4C．32D．42解析由题意知，直线y＝x＋b与y＝－x2＋3交于两点，联立得x2＋x＋b－3＝0，线段AB的中点为－12，12，代入直线方程y＝x＋b，得－12－12＋b＝0，即b＝1，∴x2＋x－2＝0，x＝1或－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＝1时，y1＝2，当x2＝－2时，y2＝－1.∴|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝32.C题型一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】若曲线y2＝ax与直线y＝(a＋1)x－1恰有一个公共点，求实数a的值．思维启迪先用代数方法即联立方程组解决，再从几何上验证结论，注意运用数形结合思想以及分类讨论思想．解联立方程y＝(a＋1)x－1y2＝ax.(1)当a＝0时，此方程组恰有一组解为x＝1y＝0.典型例题深度剖析(2)当a≠0时，消去x，得a＋1ay2－y－1＝0.①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0.方程组恰有一组解x＝－1y＝－1.②若a＋1a≠0，即a≠－1.令Δ＝0，得1＋4(a＋1)a＝0，可解得a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述知,当a＝0,－1,－45时,直线与曲线y2＝ax恰有一个公共点．探究提高本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次...
