【课堂新坐标】2013届高三数学一轮复习-第5章第2节-等差数列课件-文-(广东专用)VIP免费

第二节等差数列2．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k.则am＋an＝＝.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an，ap＋aq2akkd1．A＝a＋b2是a，A，b成等差数列的什么条件？【提示】充要条件．若A＝a＋b2⇔2A＝a＋b⇔A－a＝b－A⇔a，A，b成等差数列．2．三个数成等差数列且知其和时，一般设为a－d，a，a＋d，四个数成等差数列且知其和时，怎样设好呢？【提示】可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.【答案】C1．(教材改编题)在小于100的正整数中所有被7除余2的数的和是()A．663B．664C．665D．666【解析】这些数组成首项为2，公差为7的等差数列{an}，∴an＝7(n－1)＋2，由an＜100，即7(n－1)＋2＜100得n＜15.故数列{an}共有14项，Sn＝14×2＋14×132×7＝665.2．(2011·江西高考)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()A．18B．20C．22D．24【解析】由S10＝S11，得10a1＋10×92×(－2)＝11a1＋11×102×(－2)，解得a1＝20.【答案】B3．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝______.【解析】 a3＋a8＝a5＋a6＝22，又a6＝7，∴a5＝15.【答案】154．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝______.【解析】设等差数列{an}的公差为d，则有3a1＋3×22d＝3，6a1＋6×52d＝24，解得a1＝－1，d＝2.∴a9＝a1＋(9－1)d＝－1＋8×2＝15.【答案】15(1)已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列{an}的通项公式为________．(2)已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．①求证：数列{bn}是等差数列；②求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．【思路点拨】(1)先证明数列{1an}是等差数列，从而1an可求．(2)①证bn＋1－bn为常数，求bn；②利用bn求an，再利用单调性求最大(小)项．【尝试解答】(1) an＋1·an＝an＋1－an，∴1an＋1－1an＝－1，∴数列{1an}是公差为－1的等差数列，且1a1＝－1，∴1an＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴an＝－1n.(2)① an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1，∴bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝12－1an－1－1an－1＝anan－1－1an－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52，∴数列{bn}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．②由(1)知bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.设f(x)＝1＋22x－7，则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝Sn－12Sn－1＋1(n≥2)，a1＝2.(1)求证：{1Sn}是等差数列；(2)求an的表达式．【解】(1)证明：由Sn＝Sn－12Sn－1＋1得1Sn＝2Sn－1＋1Sn－1＝1Sn－1＋2，∴1Sn－1Sn－1＝2，∴{1Sn}是以1S1即12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1Sn＝12＋(n－1)×2＝2n－32，∴Sn＝12n－32，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－32－12n－72＝－22n－322n－72；当n＝1时，a1＝2不适合an，故an＝2n＝1，－22n－322n－72n≥2.(1)(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.(2)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.①求数列{an}的通项公式；②若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．【思路点拨】(1)根据S9＝S4，求公差d，利用ak＋a4＝0求k.(2)①求出公差d后直接写出an；②求出Sn后，根据方程Sk＝－35，求k的值．【尝试解答】(1) S4＝S9，∴4×1＋4×32d＝9×1＋9×82d，解得d＝－16，则ak＝1＋(k－1)×(－16)＝－16k＋76，a4＝1＋3×(－16)＝12，由ak＋a4＝0得－16k＋76＋12＝0，∴k＝10.【答案】10(2)①设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.②由①知an＝3－2n，∴Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2，由Sk＝－35得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5，又k...