双曲线部分知识精讲一.本周教学内容：双曲线部分【典型例题】[例1]已知椭圆：与双曲线：有公共焦点F1、F2，若两曲线在第一象限内的交点为P，求证：的面积。证：由，且（其中）设周长的一半为m，则则故另法，[例2]求以F1（），F2（3，0）为焦点，并与直线有公共点且实轴最长的双曲线的方程。用心爱心专心122号编辑1解：先求F2（3，0）关于直线的对称点由又，则故所求双曲线方程为[例3]已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F2是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。解：由，则此时M的坐标（）[例4]已知双曲线C：，一条长为8的弦AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为。用心爱心专心122号编辑2解：又，则当且仅当时，取“=”，由逆径，故可取“=”又由即故M（）[例5]双曲线中心在原点，一个焦点为F（），直线与其相交于M，N两点，MN中点横坐标为，则此双曲线方程是（）A.B.C.D.解法1：设H：（）联立中点条件是再由焦点条件解出用心爱心专心122号编辑3解法2：由MN中点在直线上，则中点纵坐标由故H：，选D。[例6]已知A、B是双曲线右支上两点（1）若AB过右焦点F2，且，求的周长（F1为左焦点）；（2）若弦AB的中点到y轴的距离为4，求的最大值。解：（1）因A、B在双曲线右支上，故由双曲线定义可知，两式相加得由，即故，所以即的周长为（2）由题设，双曲线中，设A（），B（），则A，B到右焦点的距离分别为由弦中点到y轴距离为4，即，则=8用心爱心专心122号编辑4故，故最大值为8，此时AB过焦点F2[例7]过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。解：设AB：代入双曲线方程并整理得（*）若，不合题意，若，由，得若P是AB的中点，即得（舍去）此时，代入（*）当不存在时，直线与双曲线只有一个公共点因此这样的弦AB不存在另法：设A（），B（），由A、B在双曲线上两式相减得，其中用心爱心专心122号编辑5，得以下同解法1[例8]双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，，求双曲线的方程。解：设双：，直线PQ方程为由，消去得设P（），Q（）若，故，则直线PQ与双曲线渐近线平行，与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故故由于P、Q在直线上可记为P（），Q（）由OP⊥OQ，则整理得将（*）代入，又由，并整理得即由，则由，得2整理得将（*）式代入，又代入，解得，从而，故双曲线方程[例9]若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在用心爱心专心122号编辑6右准线上，且满足（）（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过N（2，），求双曲线方程；（3）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B1、B2（B1在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。解：（1）由知四边形PF1OM为平行四边行又（）OP平分故PF1OM为菱形又由，（），则，故（由）由（舍）（2）由，设双曲线方程其过点N（2，），则故所求双曲线方程为（3）依题意得B1（0，3），B2（0，）由，则共线不妨设直线AB：，A（），B（）由用心爱心专心122号编辑7由的渐近线为，当时，AB与双曲线只有一个交点，不合题意，则，又，则即，故所以所求直线AB的方程为：或[例10]求经过定点M（），以y轴为左准线，离心率为2的双曲线右顶点的轨迹方程。解：设双曲线的右顶点为P（x，y），左焦点为F（）双曲线对称轴设双曲线的半实轴，半焦距分别为，则离心率由双曲线的性质，得又由代入得（*）由焦点F与准线y轴的距离为故代入（*）得用心爱心专心122号编辑8，即由双曲线的定义，有，即即又由代入得即右顶点M的轨迹方程为[例11]已知抛物线的焦点为F，准线为，是否存在双曲线，同时满足下列条件：①双曲线c的一个焦点为F，相应于F的准线为；②双曲线c截与直线垂直的直线所得的弦长为，并且该线段的中点恰好在直线上，若存在，求出这个双曲线c的方程；若不存在，说明理由。解法1：如图，设符合条件的双曲线c存在，则其右焦点F（0，0），右准线为，设离心率为e，点P（x，y）为双曲线上任意一点，则由整理，得①设与垂直的直线方程为，此直线与双曲线C交于A、B两点，其坐标为把代入①式...
