【优化探究】2017届高考数学一轮复习第二章第十三节定积分与微积分基本定理课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝()A．1B．－2C．－2或4D．4解析：由(2x－2)dx＝8得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为()A.B.C.D.解析：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝x2dx＋dx＝＋lnx＝＋lne＝，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a＝(3x2－2x)dx，则6的展开式中的第4项为()A．－1280x3B．－1280C．240D．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a＝(x3－x2)＝4，二项式6的展开式的第四项是T4＝C·(4x2)3·3＝－1280x3，故选A.答案：A4．如图所示，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一点M，则点M取自E内的概率为()A.B.C.D.解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×＋dx＝1＋ln＝1＋ln2，因此所求的概率等于，故选C.答案：C5．已知数列{an}是等差数列，且a2013＋a2015＝dx，则a2014(a2012＋2a2014＋a2016)的值为()A．π2B．2πC．πD．4π2解析：dx表示圆x2＋y2＝4在第一象限的面积，即dx＝π，又数列{an}是等差数列，所以a2013＋a2015＝a2012＋a2016＝2a2014，所以得a2014·(a2012＋2a2014＋a2016)＝×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y＝x与抛物线y＝x－x2所围图形的面积等于________．解析：由解得x＝0或，所以所求面积为dx＝dx＝＝×2－×3－0＝.答案：7．(2015·长春二模)已知a>0且曲线y＝、x＝a与y＝0所围成的封闭区域的面积为a2，则a＝________.解析：由题意a2＝dx＝x，所以a＝.答案：8．已知a∈，则(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.解析：(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)＝sina＋cosa－1＝sin－1.∵a∈，∴当a＝时，max＝－1.答案：9．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．解：如图，由得交点A(1,1)；由得交点B(3，－1)．故所求面积S＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝.10．汽车以54km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v0＝54km/h＝15m/s.所以v(t)＝v0＋at＝15－3t.令v(t)＝0，得15－3t＝0.解得t＝5.所以开始刹车5s后，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s＝v(t)dt＝(15－3t)dt＝＝37.5(m)．故汽车走了37.5m.B组高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝1＋e1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C.D．1解析：令f(x)dx＝m，则f(x)＝x2＋2m，所以f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝＝＋2m＝m，解得m＝－，故选B.答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2解析：由v(t)＝0得t＝4.故刹车距离为s＝v(t)dt＝dt＝＝4＋25ln5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2B．4C．2D．4解析：由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)．∴S＝(4x－x3)dx＝＝4.答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意，可得封闭图形的面积为(x－x2)dx＝＝－＝.答案：6．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p＝，抛物线方程为x2＝y，所以当前最大流量对应的截面面积为2dx＝，原始的最大流量对应的截面面积为＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为＝1.2.答案：1.2
