第6节空间直角坐标系、空间向量及其运算1．O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点()A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断解析：B[∵OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面．]2．(2019·成都市模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6，2u－1,2λ)，若a∥b，则λ与u的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2解析：A[由题意知(λ＋1)·2λ＝2×6，可得λ＝－3或2，由0·2λ＝2(2u－1)得u＝，分析选项知A正确．故选A.]3．(2019·东城区期末)结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O－xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是()A.B.C.D.解析：A[设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD－OEFG，如图所示：∵平面BFGD经过点B与x轴垂直，∴点B在x轴上的射影为G点，结合G得B的横坐标为；同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合E得B的纵坐标为；点B在z轴上的射影为D点，结合D(0,0,1)得B的竖坐标为1.由此可得点B的坐标为.故选A.]4．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且AD＋AE＝xAB＋yAC，则＋的最小值为()A.B．2C.D.解析：D[设AD＝mAB＋nAC，AE＝λAB＋μAC，其中m，n，λ，μ为实数．因为B，D，E，C共线，所以m＋n＝1，λ＋μ＝1.因为AD＋AE＝xAB＋yAC＝(m＋λ)AB＋(n＋μ)AC，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，易知x＞0，y＞0，所以＋＝(x＋y)＝≥＝.]5．(2019·哈尔滨市模拟)已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C．4D．8解析：A[|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝，故sin〈a，b〉＝＝，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×＝.故选A.]6．(2019·银川市模拟)已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若AP＝2PB，则|PD|的值是________．解析：设P(x，y，z)，∴AP＝(x－1，y－2，z－1).PB＝(－1－x,3－y,4－z)，由AP＝2PB，得点P坐标为，又D(1,1,1)，∴|PD|＝.答案：7．(2019·包头市模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．解析：由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，设P(0,0，a)(a>0)，则E，所以DP＝(0,0，a)，AE＝，|DP|＝a，|AE|＝＝＝.又cos〈DP，AE〉＝，所以＝，解得a2＝4，即a＝2，所以E(1,1,1)．答案：(1,1,1)8．如图所示，已知二面角α－l－β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．解析：AD＝AB＋BC＋CD，所以AD2＝AB2＋BC2＋CD2＋2AB·CD＋2AB·BC＋2BC·CD＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ，所以|AD|＝，即AD的长为.答案：9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)令AE＝tAB(t∈R)，所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若OE⊥b，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为.10．(2019·遵义市调研)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．解：(1)∵c∥BC，BC＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又∵|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－
