专题突破练8函数的单调性、极值点、极值、最值1.设函数f(x)=alnx+x-1x+1,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.2.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.3.(2020山东济南三模,21)已知函数f(x)=aln(x+b)-❑√x.(1)若a=1,b=0,求f(x)的最大值;(2)当b>0时,讨论f(x)极值点的个数.4.(2020山西太原三模,21)已知函数f(x)=lnx+kx.(1)当k=-1时,求函数f(x)的极值点;(2)当k=0时,若f(x)+bx-a≥0(a,b∈R)恒成立,求ea-1-b+1的最大值.5.(2020山东烟台模拟,22)已知函数f(x)=a2x2-x(lnx-b-1),a,b∈R.(1)略;(2)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,且c≤e2a+b,求c的最大值.6.已知函数f(x)=x3+32x2-4ax+1(a∈R).(1)若函数f(x)有两个极值点,且都小于0,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=a(a-1)lnx-x3+3x+f(x),求函数h(x)的单调区间.7.(2020山东济宁6月模拟,22)已知函数f(x)=x-alnx.(1)若曲线y=f(x)+b(a,b∈R)在x=1处的切线方程为x+y-3=0,求a,b的值;(2)求函数g(x)=f(x)+a+1x(a∈R)的极值点;(3)设h(x)=1af(x)+aex-xa+lna(a>0),若当x>a时,不等式h(x)≥0恒成立,求a的最小值.8.已知函数f(x)=ax2+xlnx(a为常数,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.71828…).(1)若函数f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=(2e+2)x-e2-e,k∈Z且k
1都成立,求k的最大值.专题突破练8函数的单调性、极值点、极值、最值1.解(1)当a=0时,f(x)=x-1x+1,x∈(0,+∞).此时f'(x)=2(x+1)2,于是f'(1)=12,f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=12(x-1),即x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax+2(x+1)2=ax2+2(a+1)x+ax(x+1)2.①当a≥0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当a<0时,令g(x)=ax2+2(a+1)x+a,则Δ=4(a+1)2-4a2=4(2a+1).(ⅰ)当a≤-12时,Δ≤0,所以g(x)≤0,于是f'(x)≤0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.(ⅱ)当-120,此时g(x)=0有两个不相等的实数根,分别是x1=-(a+1)+❑√2a+1a,x2=-(a+1)-❑√2a+1a,x10,x1x2=1>0,可得0x2时,有g(x)<0,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递减;当x10,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增.综上所述,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-120,得04,所以f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(4)=2ln2-2.(2)当b>0时,函数f(x)定义域为[0,+∞),f'(x)=ax+b−12❑√x=-x+2a❑√x-b2❑√x(x+b),①当a≤0时,f'(x)<0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以此时f(x)极值点的个数为0个;②当a>0时,设h(x)=-x+2a❑√x-b,(ⅰ)当4a2-4b≤0,即00,即a>❑√b时,记方程h(x)=0的两根分别为x1,x2,则❑√x1+❑√x2=2a>0,❑√x1x2=b>0,所以x1,x2都大于0,即f'(x)在(0,+∞)上有2个变号零点,所以,此...
