【高考新坐标】2016届高考数学总复习第八章第5节椭圆课后作业A级基础达标练一、选择题1．直线x－2y＋2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.[解析]直线与坐标轴的交点为(－2，0)，(0，1)，c＝2，b＝1，∴a＝，∴e＝.[答案]A2．(2015·济南质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1[解析]由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a⇒a＝2.又e＝＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.因此椭圆的标准方程为＋＝1.[答案]A3．(2014·大纲全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1[解析]由e＝得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.[答案]A4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.[解析]由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2x＝60°.设x＝a与x轴交于M点，在Rt△PF2M中，∠F2PM＝30°，∴|PF2|＝2×＝3a－2c. |F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，∴e＝＝.[答案]C5．(2015·青岛调研)已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A.B．1C．2D．4[解析]圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又 直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.[答案]C二、填空题6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为________．[解析]由题意知＝，c＝4，∴a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48，∴椭圆方程为＋＝1.[答案]＋＝17．(2015·泰安质检)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．[解析] |PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. |F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2.∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.[答案]248．(2014·江西高考)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·. ＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2.又 b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.[答案]三、解答题9．如图852所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．图852[解](1) |AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由AF2＝2F2B，解得x＝，y＝－，代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3，∴b2＝a2－c2＝2.所以椭圆方程为＋＝1.10．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．[解](1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.[B级能力提升练...
