高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式达标训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式更上一层楼基础·巩固1.已知a,b是给定的正数，则2222cossinba的最小值为（）A.a2+b2B.2abC.(a+b)2D.4ab思路分析：我们可利用平均不等式处理本题，利用三角函数sinα,cosα分别与cscα,secα的倒数关系去掉分母，再利用平方关系1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α变形，最后利用平均不等式.如果利用柯西不等式处理起来更方便,我们可以依照二维形式的柯西不等式进行构造.2222cossinba=(sin2α+cos2α)(2222cossinba)≥(sinα·sina+cosα·cosb)2=(a+b)2.答案：C2.设x,y,m,n∈(0,+∞)，且ynxm=1，则x+y的最小值是（）A.m+nB.4mnC.(nm)2D.222nm思路分析：很容易误选，原因就是没注意等号成立的条件.利用二维的柯西不等式及其等号成立的条件，直接从x+y入手有点困难，所以把x+y看成(x+y)·1=(x+y)·(ynxm)，进而可使条件、结论、选择支有机结合起来.答案：C3.设a>b>0，则bba)(1的最小值为_______________.思路分析：bba)(1=(a-b)+bba)(1+b≥3)(1)(3bbbaba,当且仅当a-b=b=bba)(1即a=2,b=1时等号成立.关键在把a+bba)(1拆分成(a-b)+bba)(1+b.答案：34.若0＜a,b,c＜1满足条件ab＋bc＋ca＝1，则cba111111的最小值是_________.1思路分析：设S=cba111111，则S≥)(3911132cbacba.由a2+b2+c2≥ab+bc+ca，在这不等式两边同时加上2(ab+bc+ca)，可得(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)，所以a+b+c≥3.于是S≥2)33(3339)(39cba.这里，当且仅当a=b=c=33时，S取得最小值.答案：2)33(35.已知a,b∈R，求证：a2+b2≥2ab.证明：∵(a2+b2)2=(a2+b2)(b2+a2)≥(ab+ba)2=4(ab)2，∴a2+b2≥2|ab|≥2ab.6.已知a,b,c,x,y,z∈R，求证：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2.思路分析：该不等式比二维形式的柯西不等式多了一对变量c、z,如果我们把22cb,22zy看成一对，也一样可以应用柯西不等式来证明.证明：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥［a2+(22cb)2］［x2+(22zy］≥(|a||x|+22cb·22zy)2=［(|ax|+22222))((zycb］≥［|ax|+2|)||(|czby］2=|ax|+|by|+|cz|)2≥(ax+by+cz)2.综合·应用7.设x1,x2,…,xn∈R+，定义Sn=niiixnnx12)11(2,在x1+x2+…+xn=1条件下，则Sn的最小值为______________.思路分析：因为［niiixnnx12)11(1］2≤(ni121)·niiixnnx12)11(2,所以Sn=niiixnnx12)11(2≥n1［niiixnnx12)11(］2≥n1［1+21nn·n2］2=n.当x1=x2=…=xn=n1时，取到最小值n.答案：n28.求证：22221122212221)()(yxyxyyxx.思路分析：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的.证明：∵(22212221yyxx)2=(x12+x22)+(y12+y22)+)()(222212121yyyx,由柯西不等式得(x12+x22)·(y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2.其中等号当且仅当x1=ky1，x2=ky2时成立.∴)()(222212221yyxx≥x1y1+x2y2,∴(22212221yyxx)2≥(x12+x22)+(y21+y22)+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2,∴22212221yyxx≥)()(222222121yxyx.其中等号当且仅当x1=ky1，x2=ky2时成立.9.已知2211abba=1,求证：a2+b2=1.思路分析：利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证.证明：由柯西不等式，得2211abba≤［a2+(1-a2)］［b2+(1-b2)］=1,当且仅当abab2211时，上式取等号，∴ab=2211ba,a2b2=(1-a2)(1-b2),于是a2+b2=1.回顾·展望10.函数f(x)=xxxxxxxxxxxxxxxxcotsincottancotcoscossintancoscottantansincossin在x∈(0,2)时的最小值为（）A.2B.4C.6D.8思路分析：f(x)=(sinx+cosx)(xxxxcotcos1tansin1)+(tanx+cotx)(xxxxcotsin1tancos1)≥(sinx+cosx)(xxxxcotcostansin4)+(tanx+cotx)(xxxxcotcostansin4)=4.3要使上式等号成立，当且仅当)2(,sincotcostan)1(,cotcostansinxxxxxxxx①-②得到sinx-cosx=cosx-sinx，即得sinx=cosx.因为x∈(0,2)，所以当x=4时，f(x)=f(4)=4.所以f(x)min=4.答案：B4