专题限时集训(二)三角恒等变换与解三角形[专题通关练](建议用时：30分钟)1．(2019·成都检测)若sin＝，则cos＝()A.B.C．－D．－D[ sin＝，∴cos＝，∴cos＝cos2＝2cos2－1＝－，故选D.]2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若＝，则cosB＝()A．－B.C．－D.B[在△ABC中，由正弦定理，得＝＝1，∴tanB＝，又B∈(0，π)，∴B＝，cosB＝，故选B.]3．(2019·开封模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为()A.B．1C.D．2C[ a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝. A为△ABC的内角，∴A＝60°，∴S△ABC＝bcsinA＝×4×＝.故选C.]4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形A[根据正弦定理得＝＜cosA，即sinC＜sinBcosA， A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)＜sinBcosA，整理得sinAcosB＜0，又三角形中sinA＞0，∴cosB＜0，＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形．]5．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是()A.km2B.km2C.km2D.km2D[如图，连接AC，根据余弦定理可得AC＝，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小区的面积为×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．]6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC＝60°，则AB＝________.3[在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB＞0，所以AB＝3.]7．(2019·荆州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A－sin2B＝sinBsinC，sinC＝2sinB，则A＝________.30°[根据正弦定理可得a2－b2＝bc，c＝2b，解得a＝b.根据余弦定理cosA＝＝＝，得A＝30°.]8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝4，c＝5，且B＝2C，点D为边BC上一点，且CD＝3，则△ADC的面积为________．6[在△ABC中，由正弦定理得＝，又B＝2C，则＝，又sinC＞0，则cosC＝＝，又C为三角形的内角，则sinC＝＝＝，则△ADC的面积为AC·CDsinC＝×4×3×＝6.][能力提升练](建议用时：15分钟)9．如图，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cosA＝()A.B.C.D.C[ DE＝2，∴BD＝AD＝＝. ∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cosA＝，故选C.]10．在外接圆半径为的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则b＋c的最大值是()A．1B.C．3D.A[根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝－，A＝120°.因为△ABC外接圆半径为，所以由正弦定理得b＋c＝sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝cosB＋sinB＝sin(60°＋B)，故当B＝30°时，b＋c取得最大值1.]11．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．[解](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.所以△ABC的面积为1.12．(2019·兰州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S△ABC＝，且a＝5，求sinB＋sinC.[解](1) b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA，∴2bccosA＝accosC＋c2cosA， c＞0，∴2bcosA＝acosC＋ccosA，由正弦定理得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，即2sinBcosA＝sin(A＋C)． sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，∴2sinBcosA＝sinB，即sinB(2cosA－1)＝0， 0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝， 0＜A＜π，∴A＝.(2) S△ABC＝bcsinA＝bc＝，∴bc＝25. cosA＝＝＝，∴b2＋c2＝50，∴(b＋c)2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10(或求出b＝c＝5)，∴sinB＋sinC＝b·＋c·＝(b＋c)·＝10×＝.题号内容押题依据1诱导公式、倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式利用...
