第7讲圆锥曲线中的综合问题(二)选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B定点、定值问题2,10,143,4最值问题3,7,12,13,171,6,7,8,9范围问题4,5,95,12存在性问题13综合问题1,6,8,11,15,162,10,11,14巩固提高A一、选择题1.M是抛物线y2=4x上一点,且在x轴上方,F是抛物线的焦点,以x轴的正半轴为始边,FM的倾斜角为60°,则|FM|等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)6解析:由题知F(1,0),设|FM|=2a,由点M向x轴作垂线,垂足为N,则|FN|=a,于是点M的横坐标x0=1+a.由M向准线作垂线,利用抛物线的定义,有|FM|=x0+1,即2a=1+a+1,所以a=2,从而|FM|=4.故选C.2.已知抛物线C:y2=16x,斜率为k的直线l与C交于A,B两点,且OA⊥OB,O为坐标原点,则直线l恒过定点(C)(A)(8,0)(B)(4,0)(C)(16,0)(D)(6,0)解析:设直线l:x=my+b(b≠0),代入抛物线y2=16x,可得y2-16my-16b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16m,y1y2=-16b,所以x1x2=(my1+b)(my2+b)=b2,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,可得b2-16b=0,因为b≠0,所以b=16,所以直线l:x=my+16,所以直线l恒过定点(16,0).所以C选项是正确的.3.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|·|PF2|的最大值是(C)(A)9(B)16(C)25(D)解析:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,根据基本不等式可知|PF1||PF2|≤()2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立,所以最大值为25,故选C.4.已知a,b>0,若圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,则该双曲线离心率的取值范围是(A)(A)[,+∞)(B)(1,](C)(1,)(D)(,2)解析:由圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,可知b2≥a2,即有c2-a2≥a2,即有c2≥2a2.由e=,可得e≥.故选A.5.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=2x-4,圆C的半径为1,圆心在直线l上,若圆C上存在点M,且M在圆D:x2+(y+1)2=4上,则圆心C的横坐标a的取值范围是(B)(A)[,2](B)[0,](C)[2-,2+](D)[0,2-]∪[2+,4]解析:点M既在圆C上,又在圆D上,所以圆C和圆D有公共点,圆C的圆心为(a,2a-4),半径为1,圆D的圆心为(0,-1),半径为2,则圆心距=,满足解得0≤a≤,故选B.6.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左,右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(C)(A)+=1(y≠0)(B)+y2=1(y≠0)(C)+3y2=1(y≠0)(D)x2+=1(y≠0)解析:依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得即代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).故选C.7.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F,A,点P为双曲线C左支上一点,若△APF周长的最小值为6b,则双曲线C的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:设双曲线的左焦点为F′,△AFP的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2a,而|AP|+|PF′|≥|AF′|,所以△AFP周长的最小值是|AF|+|AF′|+2a=2+2a=6b,解得7b=6a,49b2=36a249(c⇔2-a2)=36a2⇔=,解得,e==,故选B.8.过双曲线-=1(a>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是(B)(A)(,5)(B)(,)(C)(1,)(D)(5,5)解析:令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为±.据题意,2<<3.因为=,所以2<<3,所以5
