专题21抛物线一、基础过关题1.（2018全国卷III）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】【解析】依题意得，抛物线的焦点为，故可设直线，联立消去得，设，，则，，∴，.又，，∴，∴.2．(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x【答案】C3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【答案】B【解析】 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴y1＋y22＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2【答案】A5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x【答案】C【解析】如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则|PF||PA|的最小值是()A.12B.22C.32D.23【答案】B【解析】抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，如图，过P作PN垂直直线x＝－1于N，由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝|PN||PA|，当|PN||PA|＝|PF||PA|最小时，sin∠PAN最小，即∠PAN最小，即∠PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，联立y＝k(x＋1y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，|PF||PA|＝|PN||PA|＝cos∠NPA＝22，故选B.7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.【答案】128．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.【答案】2【解析】如图，由AB的斜率为，知∠α＝60°，又＝，∴M为AB的中点．过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，∴|BP|＝12|AB|＝|BM|.∴M为焦点，即p2＝1，∴p＝2.9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.【答案】6【解析】抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2.设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意，c＝2，ca＝12，可得a＝4，b2＝16－4＝12.故椭圆方程为x216＋y212＝1.把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.从而|AB|＝6.10．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x【答案】C2.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．【答案】(2,4)【解析】如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则2＝4x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．3．设P，Q是抛物线y2＝2px(p>0)上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为4，且·＝0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度...
