高考数学复习点拨 运用导数探究曲线的切线问题VIP免费

运用导数探究曲线的切线问题导数与曲线的切线有缘，因为0/xf的几何意义是曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线斜率，其物理意义通常指物体运动时的瞬时速度。曲线的切线反映了曲线的变化情况，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲。因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。举例说明。例1已知函数)0()(txtxxf和点)0,1(P，过点P作曲线)(xfy的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．（1）设)(tgMN，试求函数)(tg的表达式；（2）是否存在t，使得M、N与)1,0(A三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．分析：由题意点P在曲线外，故求切线PM、PN的方程，须设出M、N两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的t或导出矛盾。解：（1）设M、N两点的横坐标分别为1x、2x，21)(xtxf，切线PM的方程为：))(1()(12111xxxtxtxy，又切线PM过点)0,1(P，有)1)(1()(012111xxtxtx，即02121ttxx，同理，由切线PN也过点)0,1(P，得02222ttxx．由（1）、（2），可得21,xx是方程022ttxx的两根，.,22121txxtxx（*）22211221)()(xtxxtxxxMN])1(1[)(221221xxtxx])1(1][4)[(22121221xxtxxxx，把（*）式代入,得ttMN20202,因此，函数)(tg的表达式为)0(2020)(2ttttg．用心爱心专心（2）当点M、N与A共线时，NAMAkk，01111xxtx＝01222xxtx，即21121xxtx＝22222xxtx，化简，得0])()[(211212xxxxtxx，21xx，1212)(xxxxt．把（*）式代入，解得21t．存在t，使得点M、N与A三点共线，且21t．点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。解题的关键是借助导数作为工具，采用设而不求的方法，求出M、N两点的横坐标所满足的方程，进而运用两点间的距离公式求出函数)(tg的表达式。例2（2007年全国卷Ⅱ理22题）已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．分析：本题第一问，由导数的几何意义容易求解切线方程问题；第二问难点在于由条件“过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线”找到解题的切入点，关键是先把问题转化为方程问题来求解。解：（1）求函数()fx的导数；2()31xxf．曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程为：()()()yftftxt，即23(31)2ytxt．（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．于是，若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：t(0)，0(0)a，a()a，()gt00()gt极大值ab极小值()bfa用心爱心专心由()gt的单调性，当极大值0ab或极小值()0bfa时，方程()0gt最多有一个实数根；当0ab时，解方程()0gt得302att，，即方程()0gt只有两个相异的实数根；当()0bfa时，解方程()0gt得2atta，，即方程()0gt只有两个相异的实数根．综上，如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，即()0gt有三个相异的实数根，则0()0.abbfa，即()abfa．点评：从本题可看出，导数已成为高考命题的一个重要工具，通过导数实现了函数与方程、不等式、曲线的切线等多个知识点的交汇，并渗透着数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法。此题只要把切线问题转化为方程根的个数问题，运用数形结合，很容易发现()0gt有三个相异的实数根时，极大值和极小值只能满足0ba和0afb，但完整的代数推理，应该将前三种情况也要讨论出来才行。例3已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝21ax2＋bx，a≠0.设函数f...