专题三数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．运用这一数学思想解题，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征．档次第一档第二档第三档每月用电量x(度)0＜x≤140____________________实际问题的数形结合例1：(2012年贵州遵义)为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图Z3－1中的折线反映了每户每月用电电费y(单位：元)与用电量x(单位：度)间的函数关系式．(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：(2)小明家某月用电120度，需交电费________元；(3)求第二档每月电费y(单位：元)与用电量x(单位：度)之间的函数关系式；(4)在每月用电量超过230度时，每月多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．图Z3－1解：(1)140＜x≤230x＞230(2)54(3)设第二档每月电费y与用电量x之间的函数关系式为：y＝ax＋c，将(140,63)，(230,108)代入，得：140a＋c＝63，230a＋c＝108.解得a＝12，c＝－7.则第二档每月电费y与用电量x之间的函数关系式为y＝12x－7(140＜x≤230)．(4)根据图象可得出：用电230度，需要付费108元，用电140度，需要付费63元，故108－63＝45(元)，230－140＝90(度)，45÷90＝0.5(元)，则第二档电费为0.5元/度．∵小刚家某月用电290度，交电费153元，∴290－230＝60(度)，153－108＝45(元)．∴45÷60＝0.75(元)．∴m＝0.75－0.5＝0.25.几何问题的数形结合例2：(2012年辽宁营口)如图Z3－2，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A，B，C，D四个点重合于点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．(1)若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm2，求长方体包装盒的高；(2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x(单位：cm)，长方体的侧面积为S(单位：cm2)，求S与x的函数关系式，并求x为何值时，S的值最大．图Z3－2解：(1)如图Z3－2，设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm，则NP＝2xcm，DP＝60－2x2cm，QM＝PW＝2×60－2x2cm.由题意，得60－2x2×22＝1250.解得x1＝52，x2＝552(不符合题意舍去)．答：长方体包装盒的高为52cm.(2)由题意，得S＝4×2×60－2x2×x＝－4x2＋1202x.∵a＝－4＜0，∴当x＝152时，S有最大值．
