考点41圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题【考纲要求】应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求有关定值、定点的问题．【命题规律】圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题一般在解答题中考查.难度较大.【典型高考试题变式】（一）定值问题例1.【2017课标卷】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【解析】（1）令，，C(0，1)，为的根，假设成立，所以，，，所以，所以不能出现的情况.【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：；圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．【变式1】【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得，故椭圆的方程为．（2）设，直线的方程为，由，由三点共线可知同理可得，所以．【变式2】【2016北京卷】已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【解析】（1）由题意得，，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．令，得，从而．所以四边形的面积．从而四边形的面积为定值．（二）定点问题例2.【2017课标1】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【分析】（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，于是l：，即，所以l过定点（2，）.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.【变式1】【2017江西南昌市摸底】已知椭圆短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于两点，以为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由.【解析】（1）因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以,故椭圆的方程为，（2）圆的方程为,设为坐标原点当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，则，所以，所以为直径的圆过坐标原点当直线的斜率存在时，设其方程设为，设因为直线与相关圆相切，所以联立方程组得,即,,,，，所以为直径的圆恒过坐标原点.【数学思想】①数形结合思想．②分类讨论思想．③转化与化归思想.【温馨提示】解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明...
