第十六讲任意角和弧度制及任意角的三角函数班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为()A.B.C.D．2解析：设圆半径为R，则其内接正三角形的边长为R，于是圆心角的弧度数为＝.故选C.答案：C2．若α为第一象限角，那么sin2α，cos2α，sin，cos中必定为正值的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由于α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角，sin2α>0，cos2α符号不确定，为第一或三象限角，sin，cos的符号均不确定．故选B.答案：B3．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.B.C.D.解析：解法一：r＝＝1，由三角函数的定义，tanθ＝＝＝－1.又∵sin>0，cos<0，∴P在第四象限，∴θ＝，故选D.解法二：P，同上．答案：D4．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于()A．5B．2C．3D．4解析：设扇形的半径为R，圆心角为α，则有2R＋Rα＝R2α，即2＋α＝R·α，整理得R＝2＋，由于≠0，∴R≠2.答案：B5．(2010·烟台联考题)若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于()A．2B．－2C．4D．－4解析：由题意，tanα＝3，α是第三象限角，∴解得∴m－n＝2.答案：A6．(2010·福州模拟题)如图，已知单位圆O与y轴相交于A、B两点．角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在射线OC上．过点A作直线AC垂直于y轴且与角θ的终边交于点C，则有向线段AC的函数值是()用心爱心专心1A．sinθB．cosθC．tanθD．cotθ解析：根据单位圆中三角函数线的定义可知应选择D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知0≤α≤2π，点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则α的取值范围是________．解析：由题设⇒再观察单位圆中的三角函数线即得答案．答案：∪(π，π)8．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设内切圆的半径为r，扇形半径为R，则(R－r)sin60°＝r.∴R＝r，∴＝＝2＝2＝.答案：9．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角的终边相同的角为________．解析：∵β＝k·360°＋60°，k∈Z，∴＝k·120°＋20°，k∈Z.又∈[0°，360°)，∴0°≤k·120°＋20°<360°，k∈Z，∴－≤k<，∴k＝0,1,2.此时得分别为20°，140°，260°.故在[0°，360°)内，与角终边相同的角为20°，140°，260°.答案：20°，140°，260°10．(2010·南京第一次调研)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－，则x的值为________．解析：根据题意知tanα＝＝－，所以x＝10.答案：10三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．解：由题意可知P(a，－b)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝－；由题意可知Q(b，a)，则sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝，∴＋＋＝－1－＋＝0.12．解答下列问题：(1)若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号；(2)若tan(cosθ)·tan(sinθ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出所取的范围．解：(1)∵θ在第四象限，∴00，cos(sinθ)>0，∴sin(cosθ)·cos(sinθ)>0.(2)由题知或∴或即θ在第一或第三象限；若θ在第一象限，则的取值范围如图①所示；若θ在第三象限，则的取值范围如图②所示(见阴影部分，不含边界)．用心爱心专心213．已知下列命题：(1)θ是第二象限角；(2)sin＋cos＝－；(3)tan＝；(4)tan＝；(5)sin－cos＝－试以其中若干(一个或多个)命题为条件，然后以剩余命题中的若干命题为结论，组成新命题，并证明之，至少组出两个新命题．解：以(1)(2)为条件，以(3)为结论．证明：因为θ是第二象限角，所以kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.①又sin＋cos＝－，所以2kπ＋π＜＜2kπ＋π，k∈Z.②由①②可知2kπ＋π＜＜2kπ＋π.又由sin＋cos＝－，得sin·cos＝，所以＝.所以12tan2－25tan＋12＝0.解得tan＝(舍)，tan＝.用心爱心专心3
