大题规范练(三)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足a＝3bcosC.(1)求的值；(2)若a＝3，tanA＝3，求△ABC的面积．[解](1)由正弦定理＝＝＝2R及a＝3bcosC可得2RsinA＝3×2RsinBcosC，即sinA＝3sinBcosC. A＋B＋C＝π，∴sinA＝sin(B＋C)＝3sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝3sinBcosC，∴cosBsinC＝2sinBcosC，∴＝2，故＝2.(2)法一：(直接法)由A＋B＋C＝π，得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3，即＝－3，将tanC＝2tanB代入得＝－3，解得tanB＝1或tanB＝－.根据tanC＝2tanB，得tanC，tanB同号，又tanC，tanB同时为负数不合题意，∴tanB＝1，tanC＝2，∴sinB＝，sinC＝，sinA＝，由正弦定理可得＝，∴b＝，∴S△ABC＝absinC＝×3××＝3.法二：(整体代入法)由A＋B＋C＝π，得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3，即＝－3，将tanC＝2tanB代入得＝－3，解得tanB＝1或tanB＝－.根据tanC＝2tanB得tanC，tanB同号，又tanC，tanB同时为负数不合题意，∴tanB＝1，tanC＝2.又 a＝3bcosC＝3，∴bcosC＝1，∴abcosC＝3，∴abcosCtanC＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6＝3.18．如图6，在四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.图6(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.【导学号：07804233】[解](1)证明：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)．设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，且AS＝(x－2，y－2，z)，BS＝(x，y－2，z)，DS＝(x－1，y，z)．由|AS|＝|BS|，得＝，解得x＝1.由|DS|＝1，得y2＋z2＝1.①由|BS|＝2，得y2＋z2－4y＋1＝0.②由①②，解得y＝，z＝.∴S，AS＝，BS＝，DS＝，∴DS·AS＝0，DS·BS＝0，∴DS⊥AS，DS⊥BS，∴SD⊥平面SAB.(2)设平面SBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n⊥BS，n⊥CB，∴n·BS＝0，n·CB＝0.又BS＝，CB＝(0,2,0)，∴，取z1＝2，得n＝(－，0,2)． AB＝(－2,0,0)，∴cos〈AB，n〉＝＝＝.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.19．春节期间，甲、乙等六人在微信群中玩抢红包游戏，六人轮流发红包，每次10元，分4个红包，每个红包分别为1元、2元、3元、4元，每人每次最多抢一个红包，且每次红包全被抢完．统计五轮(30次)的结果，甲、乙所抢红包的情况如下：1元2元3元4元甲抢的次数6347乙抢的次数9664(1)求甲、乙所抢红包金额的平均数，并说明谁的手气更好；(2)将频率视为概率，甲在接下来的一轮抢红包游戏中，没有抢到红包的次数为X，求X的分布列和数学期望．[解](1)甲所抢红包金额的平均数为甲＝＝，乙所抢红包金额的平均数为乙＝＝，由于＞，所以乙的手气更好．(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.从30次统计结果看，甲抢到红包的频率为＝，甲没有抢到红包的频率为1－＝，且每次抢红包相互独立，故X～B.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，P(X＝3)＝C＝，P(X＝4)＝C＝，P(X＝5)＝C＝，P(X＝6)＝C＝.所以X的分布列为X0123456PE(X)＝6×＝2.(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)22．选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ(tanα·cosθ－sinθ)＝1(α是常数，0＜α＜π，且α≠)，点A，B(A在x轴的下方)是曲线C1与C2的两个不同交点．(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标．[解](1) (其中φ为参数)，∴曲线C1的普通方程为＋y2＝1.由，得曲线C2的直角坐标方程为y＝tanα·x－1.(2)由(1)得曲线C2的参数方程为(t为参数)．设A(t1cosα，－1＋t1sinα)，B(t2cosα，－1＋t2sinα)，将，代入＋y2＝1，整理得t2(1＋3sin2α)－8tsinα＝0，∴t1＝0，t2＝，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≤＝(当且仅当sinα＝时取等号)，当sinα＝时， 0＜α＜π，且α≠，∴cosα＝±，∴B，∴|AB|的最大值为，此时点B的坐...
