大题规范练(九)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线l交椭圆于M，N两点，且|MN|＝1.P(－b,0)，A为圆O：x2＋y2＝b2上不同于P的任意一点，过点P作与PA垂直的直线交圆x2＋y2＝a2于B，C两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)试问|BC|2＋|CA|2＋|AB|2是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．[解](1)假设直线l过椭圆的右焦点(c,0)，把x＝c代入椭圆方程，得＋＝1，即y2＝b2＝，所以|MN|＝＝1.又＝＝＝，所以a＝2b，结合＝1，可得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知x＋y＝1，x＋y＝x＋y＝4，P(－1,0)，所以|BC|2＋|CA|2＋|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(x2－x0)2＋(y2－y0)2＋(x1－x0)2＋(y1－y0)2＝2(x＋y)＋2(x＋y)＋2(x＋y)－2(x1x2＋y1y2＋x1x0＋y1y0＋x2x0＋y2y0)＝18－2(x1x2＋y1y2＋x1x0＋y1y0＋x2x0＋y2y0)．因为PA⊥PB，所以PA·PB＝0，又PA＝(x0＋1，y0)，PB＝(x1＋1，y1)，所以(x0＋1)·(x1＋1)＋y0y1＝0，即x0x1＋y0y1＝－1－(x0＋x1)，所以x1x2＋y1y2＋x1x0＋y1y0＋x2x0＋y2y0＝x2(x0＋x1)＋y2(y0＋y1)－1－(x0＋x1)＝(x0＋x1)(x2－1)＋y2(y0＋y1)－1.①当BC⊥x轴时，直线BC与圆O仅有一个交点P，此时A(1,0)，|BP|＝|CP|＝，|AB|＝|CA|＝＝，所以|BC|2＋|CA|2＋|AB|2＝(2)2＋()2＋()2＝26.②当BC与x轴不垂直时，直线BC与圆O有2个交点，设直线BC交圆O于另一点A′，由A′P⊥AP，知A′A为圆O的直径，所以A′(－x0，－y0)．由线段A′P的中点与BC的中点重合，可知x1＋x2＝－x0－1，y1＋y2＝－y0，即x1＋x0＝－1－x2，y1＋y0＝－y2，所以x1x2＋y1y2＋x1x0＋y1y0＋x2x0＋y2y0＝(－1－x2)(x2－1)＋y2(－y2)－1＝1－(x＋y)－1＝－4，所以|BC|2＋|CA|2＋|AB|2＝18－2×(－4)＝26.综上，|BC|2＋|CA|2＋|AB|2是定值，且为26.21．已知函数f(x)＝x2lnx＋1－x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x≥1时，f(x)≥a(x－1)2恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2xlnx＋x－1.当x＞1时，2xlnx＞0，x－1＞0，所以f′(x)＞0；当0＜x＜1时，2xlnx＜0，x－1＜0，所以f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)设g(x)＝f(x)－a(x－1)2＝x2lnx＋1－x－a(x－1)2(x≥1)，g′(x)＝2xlnx＋x－1－2a(x－1)，g″(x)＝2lnx＋3－2a.若3－2a≥0，即a≤，对一切x≥1时，g″(x)≥0，所以g′(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g′(x)≥g′(1)＝0，所以g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，符合条件；若3－2a＜0，即a＞，存在x0∈(1，＋∞)使得g″(x)＝0，当x∈(1，x0)时，g″(x)＜0，所以函数g′(x)在区间(1，x0)上单调递减，所以当x∈(1，x0)时，g′(x)＜g′(1)＝0，所以函数g(x)在区间(1，x0)上单调递减，故当x∈(1，x0)时，g(x)＜g(1)＝0，这与题意矛盾．综上，实数a的取值范围为.
