第二章第13节导数的综合应用第三课时1．(导学号14577238)(理科)(2018·济南市一模)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝ex＋a，由函数f(x)在x＝0处取得极值，则f′(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，即有f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1，当x＜0时，有f′(x)＜0，f(x)递减，当x＞0时，有f′(x)＞0，f(x)递增．则x＝0处f(x)取得极小值，也为最小值，且为2，又f(－2)＝e－2＋3，f(1)＝e，f(－2)＞f(1)，即有f(－2)为最大值e－2＋3；(2)函数f(x)不存在零点，即为ex＋ax－a＝0无实数解，由于x＝1时，e＋0＝0显然不成立，即有a∈R且a≠0.若x≠1，即有－a＝，令g(x)＝，则g′(x)＝，当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)递增，当x＜1和1＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)递减．即有x＝2处g(x)取得极小值，为e2，在x＜1时，g(x)＜0，则有0＜－a＜e2，解得－e2＜a＜0，则实数a的取值范围为(－e2,0)．1．(导学号14577239)(文科)(2018·南平市质检)已知函数f(x)＝ex－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)已知t为实数，求函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值；(3)定义在区间D上的函数g(x)，若存在区间[a，b]⊆D及实常数m，当x∈[a，b]时，g(x)的取值范围恰为[a＋m，b＋m]，则称区间[a，b]为g(x)的一个同步偏移区间，m为同步偏移量．试问函数y＝[f(x)＋x](x2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f(1)＝e－1,f′(x)＝ex－1.∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝e－1，∴切线方程为y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.(2)令f′(x)＝ex－1＝0得x＝0.①当t≥0时，在[t，t＋2]上f′(x)≥0，f(x)单调递增，fmin(x)＝f(t)＝et－t.②当－21时，g′(x)>0，∴g(x)为增函数，∴即方程(x2－1)ex＝x＋m有两个大于1的相异实根．设φ(x)＝(x2－1)ex－x－m(x>1)，则φ′(x)＝(x2＋2x－1)ex－1. x>1，φ′(x)>0，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x)在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x2－1)ex＝x＋m有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g(x)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．2．(导学号14577240)(理科)(2018·濮阳市一模)设函数f(x)＝alnx－bx2.(1)当b＝1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝1，b＝0时，函数g(x)＝f(x)－kx，k为常数，若函数g(x)有两个相异零点x1，x2，证明：x1·x2>e2.解：(1)b＝1时，f(x)＝alnx－x2，定义域是(0，＋∞)，∴f′(x)＝(x＞0)，①a≤0时，a－2x2≤0，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)递减．②a＞0时，f′(x)＝，(x＞0)，x∈时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在递减，在递增．(2)证明：a＝1，b＝0时，g(x)＝f(x)－kx＝lnx－kx，由g(x)＝0，得lnx＝kx，设x1＞x2，又 lnx1－kx1＝0，lnx2－kx2＝0，∴lnx1＋lnx2＝k(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝k(x1－x2)，∴＝k.要证明x1x2＞e2，只需证明lnx1＋lnx2＞2，即证明k(x1＋x2)＞2，即证明k＞，即证明＞，即证明ln＞.设t＝，则t＞1.设h(t)＝lnt－，(t＞1)，则h′(t)＝＞0，∴函数h(t)在(1，＋∞)递增． h(1)＝0，∴h(t)＞h(1)＝0，∴lnt＞，∴x1x2＞e2.3．(导学号14577241)(文科)(2018·菏泽市一模)设函数f(x)＝lnx－ax2－bx.(1)当a＝b＝时，求函数f(x)的单调区间；(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0
