专题06确定抽象函数单调性解函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。【方法点评】确定抽象函数单调性解函数不等式使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步（定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步（转化）将函数不等式转化为的形式；第三步（去）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步（求解）解不等式或不等式组确定解集；第五步（反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.例1已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为__________．【答案】.例2.已知定义为的函数满足下列条件：①对任意的实数都有：；②当时，．（1）求；（2）求证：在上增函数；（3）若，关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．即在上恒成立，令，即成立即可．①当，即时，在上单调递增，则解得，所以，②当即时，有解得，而，所以，综上，实数的取值范围是【变式演练1】设奇函数在区间上是增函数，且.当时，函数，对一切恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.或C.或D.或或【答案】D【解析】试题分析：由奇函数在区间上是增函数，且，所以在区间的最大值为，所以当时显然成立，当时，则成立，又，令，当时，是减函数，故令，解得；当时，是增函数，故令，解得，综上所述，或或，故选D.考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【变式演练2】已知定义在上的函数为增函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【变式演练3】定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．（1）求的值；（2）求证：；（3）解不等式．【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）．考点：抽象函数及应用．【变式演练4】定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有，求证：（1）是奇函数；（2）是单调递减函数；（3），其中．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题（3）∴ ，∴，∴．故．考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和．【高考再现】1.【2017全国卷一理】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）1.A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为奇函数，所以，【解析】于是等价于|【解析】又在单调递减【解析】【解析】故选D2.【2017天津理】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案】3.【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）（A）0（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C.考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.4.【2015高考北京，理7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C础题，首先是函数图象平移变换，把沿轴向左平移2个单位，得到的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.5.【2014高考陕西版理第7题】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）（A）（B）（C）（D）【答案】6.【2014辽宁理12】已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有.若对所有，，则k的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算...
