三角变换中的构造技巧 学法指导 不分版本VIP免费

三角变换中的构造技巧赵淑芳通过构造形象或抽象的数学模型将三角变换问题转化为熟悉的问题，对于锻炼联想、创造性思维都有独到的作用。兹举几例说明。一.构造函数例1.已知α、β为锐角，满足cossincossin2，求证：2证明：构造函数fxxx()cossincossin，显然函数fxx()在，02上单调递减。因为cossincossin2所以f()2又因为f2222cossincossin所以ff()2于是2故2二.构造方程例2.已知sincoscot150，，，求的值。解：因为sincos15所以(sincos)sincos212125所以sincos1225故sincos，是二次方程xx21512250的两个实数根因为0，所以sincoscot45534，，三.构造数列例3.同例2。解：因为sincos15所以sincos，，110成公差为d的等差数列用心爱心专心115号编辑1且sincos110110dd，则110110122dd解得d710因为0，所以sin0710，d故sincoscot453534，，四.构造对偶式例4.求值：coscoscos204080··解：令Acoscoscos204080··构造对偶式Bsinsinsin204080··则AB······(cossin)(cossin)(cossin)2020404080801840801601840802018sinsinsinsinsinsinB即ABB·18，故coscoscos20408018··五.构造不等式例5.已知sincossincos33200620061，求的值。解：因为sincos，，11所以sinsincoscos3232，即sincossincos33221由已知sincos331得：sinsincoscos3232，故sincossincos1001，或，于是sincos200620061六.构造比例式例6.求证：sectansectansectan11证明：因为sectan221所以sectansectan11由等比定理知：(sectan)(sectan)sectan111用心爱心专心115号编辑2即sectansectansectan11七.构造参数例7.已知2111sincossincossincos，求的值。解：构造参数k使得，sincossincos11k则()sin()cos111kkk，与21sincos联立解得sincos23333kkkk，而sincos221即23333122kkkk解得kk02或故所求值为0或2。八.构造平面图形例8.求tansin20420的值。解：如图1所示，构造单位圆，交x轴于点A，角20°、60°的终边分别交AC于B、C则AB=tansec20203，，OBAC在△OBC中，OC边上的高为BH则由面积公式得12121BHOCBC即BC22040420secsinsin故tansin204203ABBC。图1九.构造向量例9.求coscoscoscoscos577149221293的值。解：如图2所示，作出边长为1的正五边形AAAAA12345，且AA12与x轴的交角为5°。由于AAAAAAAAAA12233445510，它们在x轴上投影的和为0，且各个向量与x轴的交角分别为5°、77°、149°、221°、293°，故有coscoscoscoscos5771492212930°°°°°。用心爱心专心115号编辑3图2十.构造解析几何模型例10.已知α、β为锐角，coscossinsin42421，求证：coscossinsin42421证明：设Acoscossinsin22，在xy221①上，而知B(cossin)，在直线xycossin1②上，知dr1122sincos故直线②与圆①相切，则A在直线②上故A、B两点重合则sinsinsin2且coscoscos2因为α、β为锐角，cossinsincos，故coscossinsincossin4242221用心爱心专心115号编辑4