第四课时利用导数研究不等式恒成立求参数范围专题【选题明细表】知识点、方法题号把参数看作常数利用分类讨论解4分离参数法求范围1,3等价转化法求范围2,5,6,71.设函数f(x)=x2+ex-xex.(1)求f(x)的单调区间;(2)若x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex).若x<0,则1-ex>0,所以f′(x)<0;若x>0,则1-ex<0,所以f′(x)<0;若x=0,则f′(x)=0.所以f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即f(x)的单调减区间为(-∞,+∞).(2)由(1)知f(x)在[-2,2]上单调递减,所以[f(x)]min=f(2)=2-e2.所以当m<2-e2时,不等式f(x)>m恒成立,即m的取值范围为(-∞,2-e2).2.(2015合肥联考)已知f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若存在x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,求实数a的取值范围.解:若存在x1,x2∈R,使f(x2)≤g(x1)成立,即f(x)min≤g(x)max.f′(x)=ex+xex=ex(1+x),当x>-1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<-1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的最小值为f(-1)=-.而函数g(x)的最大值为a,则由题意,可得-≤a即a≥-.所以a的取值范围是[-,+∞).3.(2015日照模拟)已知函数f(x)=ax3lnx+bx3+c在x=1处取得极值c+2,a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≤c2恒成立,求c的取值范围.解:(1)因为f(x)=ax3lnx+bx3+c,所以f′(x)=3ax2lnx+ax2+3bx2,因为函数f(x)=ax3lnx+bx3+c在x=1处取得极值c+2,所以解得a=-6,b=2.(2)由(1)得f′(x)=-18x2lnx,x>0,由f′(x)>0,得0
1,所以减区间为(1,+∞).(3)当x>0时,f(x)≤c2恒成立的充要条件是f(x)最大值≤c2,由(2)知f(x)最大值=f(1)≤c2.即c+2≤c2,解得c≥2或c≤-1,所以c的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).4.已知函数f(x)=(其中a为常数,且a<0).(1)求函数f(x)的定义域及单调区间;(2)若存在实数x∈(a,0],使得不等式f(x)≤成立,求实数a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠a}.则f′(x)=,由f′(x)>0,解得x>a+1;由f′(x)<0,解得x0时,f′(x)>0,所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增.即f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞).(2)由f(x)≥x2-x+2,得x(ex-x)≥0,即要满足ex≥x,当x=0时,a∈R;当x>0时,即≥恒成立,记g(x)=,则g′(x)=,所以易知g(x)的最小值为g(1)=e,所以≤e,得a≤2e-2.综上所述,a的取值范围是(-∞,2e-2].6.已知f(x)=ex-x,g(x)=asinx+b,g(x)在(,g())处的切线方程为6x-12y+18-π=0.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求g(x)的解析式;(3)当x≥0时,g(x)≤mex恒成立,求m的取值范围.解:(1)令f′(x)=ex-1=0,得x=0,当x>0时,f′(x)>0;当x<0时,f′(x)<0.所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞),f(x)极小值=f(0)=1.无极大值.(2)g′(x)=acosx,g′（）=a=,所以a=1.又g（）=+b,所以6×-12（+b）+18-π=0,所以b=1.所以g(x)=sinx+1.(3)当x≥0时,sinx+1≤mex恒成立,令h(x)=sinx+1-mex,则h(x)≤0在x≥0时恒成立.当m<1时,h(0)=1-m>0,矛盾.首先证明sinx≤x在[0,+∞)上恒成立.令r(x)=sinx-x,则r′(x)=cosx-1≤0,故r(x)为[0,+∞)上的减函数,故r(x)≤r(0)=0,故sinx≤x,由(1)可知ex≥x+1,故当m≥1时,h(x)=sinx+1-mex≤x+1-mex≤ex-mex=(1-m)ex≤0.综上m≥1,即m的取值范围为[1,+∞).7.(2016长春模拟)已知函数f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)在(1)的条件下,求证:f(x)≥-+-4x+;(3)当x∈[e,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.(1)解:f′(x)=2x-a-,由题意可得f′(1)=0,解得a=1,经检验,a=1时f(x)在x=1处取得极值,所以a=1.(2)证明:由(1)知,f(x)=x2-x-lnx,令g(x)=f(x)-（-+-4x+）=-+3x-lnx-,由g′(x)=x2-3x+3-=-3(x-1)=(x>0),可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.所以g(x)≥g(1)=0,所以f(x)≥-+-4x+成立.(3)解:由x∈[e,+∞)知,x+lnx>0,所以f(x)≥0恒成立等价于a≤在x∈[e,+∞)时恒成立,令h(x)=,x∈[e,+∞),有h′(x)=>0,所以h(x)在[e,+∞)上是增函数,有h(x)≥h(e)=,所以a≤.即a的取值范围为（-∞,].
