单元质检五平面向量(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第10页一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则有()A.=2B.C.=3D.2答案:B解析:由2=0,得=-2=2,即=2=2,所以,即O为AD的中点.2.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案:D解析:如图,设=a,=b.则=()·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.3.(2015广东梅州模拟)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)导学号〚32470601〛答案:C解析:设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.∴点P坐标为(3,0).4.已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.答案:B解析:因为a·(b-a)=a·b-a2=2,所以a·b=3.所以cos
=.所以=.5.(2015广东深圳模拟)已知||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则|-t|(t∈R)的最小值为()A.B.C.2D.导学号〚32470602〛答案:B解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且||的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(-t)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4+3的最小值是3,因此|-t|的最小值是.6.平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.无法确定答案:B解析:由(-2)·()=0,得[()+()]·()=0,所以()·()=0.所以||2-||2=0.所以||=||,故△ABC是等腰三角形.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2015山东,文13)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=.答案:解析:由题意可作图,∵OA=1,AP=,又∵PA=PB,∴PB=.∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.∴=||·||cos60°=.8.(2015山西第三次四校联考)圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为.导学号〚32470603〛答案:3解析:∵=2,∴O是BC的中点,故△ABC为直角三角形.在△AOC中,有||=||,∴∠B=30°.由定义,向量在向量方向上的投影为||cosB=2=3.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2015河南漯河调研)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cosθ,t).(1)若a∥,且||=|,求向量的坐标;(2)若a∥,求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.解:(1)∵=(cosθ-1,t),a∥,∴2t-cosθ+1=0,∴cosθ-1=2t.①又∵||=|,∴(cosθ-1)2+t2=5.②由①②,得5t2=5,∴t2=1.∴t=±1.当t=1时,cosθ=3(舍去);当t=-1时,cosθ=-1,∴B(-1,-1),∴=(-1,-1).(2)由(1)可知t=,∴y=cos2θ-cosθ+=cos2θ-cosθ+==,∴当cosθ=时,ymin=-.10.(15分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.导学号〚32470604〛11.(15分)(2015广东惠州模拟)已知向量=(λcosα,λsinα)(λ≠0),=(-sinβ,cosβ),其中O为坐标原点.(1)若β=α-,求向量的夹角;(2)若||≥2||对任意实数α,β恒成立,求实数λ的取值范围.解:(1)设向量的夹角为θ,则cosθ=,当λ>0时,cosθ=,θ=;当λ<0时,cosθ=-,θ=.故当λ>0时,向量的夹角为;当λ<0时,向量的夹角为.(2)=(-sinβ-λcosα,cosβ-λsinα).||≥2||对任意的α,β恒成立,即(λcosα+sinβ)2+(λsinα-cosβ)2≥4对任意的α,β恒成立,即λ2+1+2λsin(β-α)≥4对任意的α,β恒成立,所以解得λ≥3或λ≤-3.故所求实数λ的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).
