56平面向量的数量积及运算律（三）----习题课VIP免费

5.6平面向量的数量积及运算律(三）---习题课25年1月11日本节内容是利用平面向量数量积的性质和运算律解决与之相关的向量的长度,夹角及两直线或两向量是否垂直的问题一.利用平面向量数量积的性质和运算律求长度问题:例1.已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.解：∵｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×（－3）＋52＝23∴｜a＋b｜＝23，∵｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×（－3）×52＝35，∴｜a－b｜＝35联系模与向量之间的桥梁是性质aa==a2=|a|2或||aaa在数量积运算律中，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，（a－b）2＝a2－2a·b＋b2,(a＋b)(a－b)＝a2－b2,这一类似于实数的公式在解题过程中可以直接应用.例2.(08.浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则︱c︱的最大值是2.C22.DA．1B．2,0,0||2bacbccaba),2|||(|||||),(||22242babaccbacc解析：将原式展开得：1||||22ba||2,c由可得︱c︱=0或||2.maxc故二.利用平面向量数量积的性质和运算律求夹角问题:,所以求出cosabababab两个向量的夹角体现在及或求出它们之间的关系是解决有关夹角问题出发点.例3已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°).解：∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋2a·b＋b２∴a·b=(｜a＋b｜2-a2-b2)=46∴cosθ＝4023∴θ≈55°122,a3,babbaba例4.已知与的夹角为45°,求使得与的夹角为锐角时λ的取值范围.ab0abab��且（）（）>分析:引申题设,易求,由此可得关于λ的不等式cos453oabab解:∵222()()(1)ababaabb2∴=3+11+36851168511或2∴3+11+3>0三.利用平面向量数量积的性质和运算律解答有关垂直的问题:,,ABaBCb���ACBD��与例5.已知:平行四边形ABCD,判断的位置关系.ACBD��分析:首先应先明确“位置关系”含义,作为两个非共点平面向量的位置而言应该是从二者的夹角上说明,所以从考察其夹角也是解决问题的一个重要途径.,,ABaBCb���ACBD��与例5.已知:平行四边形ABCD,判断的位置关系.解:∵平行四边形ABCD∴=ADBCb�BDADABba�∴ACab�又∵22()()ACBDbaabba�∴若AB=BC,则.ba0ACBDACBD�即∴⊥若AB≠BC,则.ba0ACBDACBD�即与相交不垂直.∴若两向量具有特殊的位置关系,如垂直,平行,采用数量积去判断比较易于解决babakkbaba2,,60,4,5使为何值时问夹角为与且已知例6、022:babakbabak解021222bbakak1514:k解得babakk2,1514时所以当016260cos451225kk应用平面向量的数量积中的某些不等式，比如：222)(,babababa等可证明一些常见的不等式。四、证明不等式问题334422:bababa求证证明:},,{},,{22baba构造向量,,4422baba，的夹角为、令,)0(],1,1[cos,cos442233bababa当且仅当a=b≥0时,等号成立.例7：五、与平面向量数量积有关的综合问题)1,3(),cos,(sinnAAm,1nm)(sincos42cos)(RxxAxxf例8：(08.福建理)已知向量(I)求角A的大小；(II)求函数的值域．且A为锐角．21)6sin(,1)6sin(2AA,1cossin3AAnm解:(I)由题意得3,66AA由A为锐角得22()cos22sin12sin2sin132(sin)22fxxxxxx1cos,2A(II)由(I)知所以],1,1[sinx因为x∈R,所以21sinx,23因此，当时，f(x)有最大值1sinx当时，f(x)有最小值-3，].23,3[所以所求函数f(x)的值域是练习4,a2,babba431、已知与的夹角为120°,求分析:2(34)ab234ab419a2,abab22,ababb2.已知求与的夹角解:由已知,得:3.求证:三角形ABC的三条高线交于一点.虽然两种证法的切入点不同,但是,两种方法都是从平面几何的角度分析,从不同的侧面展示问题的关键,再结合平面向量的数量积,给出比较简便的证明方法,要从中吸取两种证法的思路的分析,进而达到能充分发挥平面向量的数量积的功能.