56平面向量的数量积及运算（二）VIP免费

5.6平面向量的数量积及运算律(二)25年1月11日教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用一、复习引入：2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定零向量与任何向量的数量积为0。1．两个非零向量夹角的概念3、向量b在a方向上的投影ABOabB1θABOB1θABO（B1）θ定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|。向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。①e·a=a·e=|a|cosθ.②a⊥ba·b=0.③当a与b同向时,a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=。aa⑤|a·b|≤|a||b|cosab|a||b|④4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。二、新课教学：平面向量数量积的运算律1．交换律：ab=ba2．数乘结合律：(λa)b=λ(ab)=a(λb)3．分配律：(a+b)c=ac+bc2、证明：(λa)b=λ(ab)=a(λb)证：若λ>0，(λa)b=λ|a||b|cos，λ(ab)=λ|a||b|cos，a(λb)=λ|a||b|cos，若λ<0，(λa)b=|λa||b|cos()=|λa||b|(cos)=λ|a||b|cos，λ(ab)=λ|a||b|cos，a(λb)=|a||λb|cos()=λ|a||b|(cos)=λ|a||b|cos。A1B112bBAaOCc3、证明：(a+b)c=ac+bc证；在平面内取一点O，作=a,=b，=c，OAABOC a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，OB即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc例1辨析题:1.若a≠0,且a·b=0,则b=0.2.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.3.(a·b)·c=a·(b·c).1.若a≠0,且a·b=0,则b=0.2.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.3.(a·b)·c=a·(b·c).4.若a2=0,则a=05.若a2+b2=0,则a=b=06若|a·b|≥|a|·|b|，则ab.∥向量的数量积不满足结合律abc┐222(1))()2()abaabb求证：、（例222(2)())()()ababab、（2(1)))()ababab证明：、（（)()abaabb（22)()(bbaaba22)(2)(bbaa2222(2)())()()()()()()abababaabbabaabbab、（解:=62-6×4×cos60º-6×42=-72(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b–6b·b=|a|2-|a||b|cos-6|b|25.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60º,求(a+2b)·(a-3b).例3222()()0,0akbakbakbakbakb解：与互相垂直的充要件是即22229,16,aabb239160.4kk，解得.akbakb3所以当且仅当k=时，与互相垂直43,4()babkakbakb...