56平面向量的数量积及运算律(一)VIP免费

5.6平面向量的数量积及运算律(一)25年1月11日教学目标：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用一、复习引入：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0实数λ与向量a的积设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。二、新课教学：向量a与b夹角∠AOB=θ(00≤θ≤1800)叫做向量a与b的夹角AOBabθ1．两个非零向量夹角的概念说明：（1）当θ＝0时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2时，a与ｂ垂直，记a⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定零向量与任何向量的数量积为0。ab=|a||b|cos，（0≤θ≤π）.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c。但是ab=bca=c如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，3、平面向量数量积的物理意义。4、向量b在a方向上的投影ABOabB1θABOB1θABO（B1）θ定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|。向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。①e·a=a·e=|a|cosθ.②a⊥ba·b=0.③当a与b同向时,a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=。aa⑤|a·b|≤|a||b|cosab|a||b|④5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°=2三、例题解析：例3判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝０；③0－④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠０；⑥a·ｂ＝０，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a,ｂ,с都有（a·ｂ)с＝a（ｂ·с)⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝b２.ABBA�解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0对于②：应有0·a＝0；对于④：由数量积定义有｜a·ｂ｜＝｜a｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a·ｂ｜＝｜a｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量a、ｂ垂直，有a·ｂ＝0；对于⑥：由a·ｂ＝0可知a⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若a与с共线，记a＝λс.则a·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ...