各种圆定理总结费尔巴赫定理三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。此定理由德国数学家费尔巴赫（k·w·feuerbach，1800—1834）于1822年提出。费尔巴赫定理的证明在不等边△abc中，设o，h，i，q，ia分别表示△abc的外心，垂心，内心，九点圆心和∠a所对的旁切圆圆心.s，r，r，ra分别表示△abc的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠a所对的旁切圆半径，bc=a，ca=b，ab=c.易得∠hao=|b-c|，∠hai=∠oai=|b-c|/2;ah=2r*cosa，ao=r，ai=√[（s-a）bc/s]，aia=√[sbc/（s-a）]在△ahi中，由余弦定理可求得：hi^2=4r^2+4rr+3r^2-s^2;在△aho中，由余弦定理可求得：ho^2=9r^2+8rr+2r^2-2s^2;在△aio中，由余弦定理可求得：oi^2=r（r-2r）. 九点圆心在线段ho的中点，∴在△hio中，由中线公式可求得.4iq^2=2（4r^2+4rr+3r^2-s^2）+2（r^2-2rr）-（9r^2+8rr+2r^2-2s^2）=（r-2r）^2故iq=（r-2r）/2.又△abc的九点圆半径为r/2，所以九点圆与内切圆的圆心距为d=r/2-r=（r-2r）/2=iq.因此三角形的九点圆与内切圆内切。在△ahia中，由余弦定理可求得：iah^2=4r^2+4rr+r^2-s^2+2（ra）^2;在△aoia中，由余弦定理可求得：iao^2=r（r+2ra）.在△hiao中，由中线公式可求得.4iaq^2=2（4r^2+4rr+r^2-s^2+2ra^2）+2（r^2+2rra）-（9r^2+8rr+2r^2-2s^2）=（r+2ra）^2故iaq=（r+2ra）/2.九点圆与∠a的旁切圆的圆心距为d=r/2+ra=（r+2ra）/2=iaq.故三角形的九点圆与∠a的旁切圆外切。因此三角形的九点圆与旁切圆外切托勒密定理一些圆定理.doc定理图定理的内容托勒密（ptolemy）定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的第1页共27页面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷（hipparchus）之手，托勒密只是从他的书中摘出。证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）在任意四边形abcd中，作△abe使∠bae=∠cad∠abe=∠acd因为△abe∽△acd所以be/cd=ab/ac，即be·ac=ab·cd（1）而∠bac=∠dae，，∠acb=∠ade所以△abc∽△aed相似.bc/ed=ac/ad即ed·ac=bc·ad（2）（1）+（2），得ac（be+ed）=ab·cd+ad·bc又因为be+ed≥bd（仅在四边形abcd是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点a、b、c、d的复数，则ab、cd、ad、bc、ac、bd的长度分别是：（a-b）、（c-d）、（a-d）、（b-c）、（a-c）、（b-d）。首先注意到复数恒等式：（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与a、b、c、d四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、设abcd是圆内接四边形。在弦bc上，圆周角∠bac=∠bdc，而在ab上，∠adb=∠acb。在ac上取一点k，使第2页共27页得∠abk=∠cbd；因为∠abk+∠cbk=∠abc=∠cbd+∠abd，所以∠cbk=∠abd。因此△abk与△dbc相似，同理也有△abd~△kbc。因此ak/ab=cd/bd，且ck/bc=da/bd；因此ak·bd=ab·cd，且ck·bd=bc·da；两式相加，得（ak+ck）·bd=ab·cd+bc·da；但ak+ck=ac，因此ac·bd=ab·cd+bc·da。证毕。三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）.已知：圆内接四边形abcd，求证：ac·bd＝ab·cd＋ad·bc.证明：如图1，过c作cp交bd于p，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△acd∽△bcp.得ac：bc=ad：bp，ac·bp=ad·bc①。又∠acb=∠dcp，∠5=∠6，∴△acb∽△dcp.得ac：cd=ab：dp，ac·dp=ab·cd②。①＋②得ac（bp＋dp）=ab·cd＋ad·bc.即ac·bd=ab·cd＋ad·bc.推论1.任意凸四边形abcd，必有ac·bd≤ab·cd+ad·bc，当且仅当abcd四点共圆时取等号。2.托勒密定理的逆定理同样成立：...
