一类图形折叠问题的解法与思考“图形的轴对称”是“图形的变化”中的一个重要部分．我们知道，对图形进行“折叠”操作，能得到轴对称图形中的一系列定理和性质，因此，“折叠问题”往往也是中考命题的一个热点，而对于学生来说，这类问题是一个难点，本文通过举例分析，希望能给大家带来一些思考，给学生解题带来一些灵感．例1观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图1）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图2)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．分析在解题过程中，部分学生从本题的结论入手，简单的认为通过两次折叠，AE和AF是可以重合的，直接得到△AEF是等腰三角形；或者在连结DE，DF后（如图3），凭感觉认为△AED≌△AFD，但又找不到可以证明的条件，这两种做法显然是不对的．究其原因，E、F两点是在第二次折叠中产生的，无法判断它们在第一次折叠中是否重合，更无法直接判断出DE与DF，∠EDA与∠FDA的关系．大部分学生对于第一次折叠的认识是比较清晰的，很明显根据折叠的结果——AC落在AB边上，得到∠BAD＝∠CAD．而对于的第二次折叠，学生会感觉结论非常之多，有的学生在添加了DE，DF两条辅助线后，根据“成轴对称的两个图形全等”得到3对全等的三角形，从而产生很多相等的角和相等的线段，却无从下手．这里给出以下几种解法：解法一如图3，证明四边形AEDF是菱形，从而得到AE＝AF．根据题意，知∠EAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FAD，可得∠EDA＝∠FAD，从而证得ED∥AF．同理可证AE∥FD，即四边形AEDF是平行四边形，根据题意可得AE＝DE，从而证明四边形AEDF是菱形，得到AE＝AF，即△AEF是等腰三角形．解法二如图3，证明∠AEF＝∠AFE，根据“等角对等边”得到AE＝AF．根据解法一，可证得AE∥FD，从而得到∠AEF＝LDFE．根据“折叠”，易知∠AFE＝LDFE，可得∠AEF＝∠AFE，即△AEF是等腰三角形．以上两种解法利用了角平分线、平行线和等腰三角形组合而成的一个基本图形，将本题中的这个基本图形提取出来（如图4）．其中，若AB∥FD，FE平分∠AFD，则可证得△AEF是等腰三角形；若FE平分∠AFD，△AEF是等腰三角形，则可证得AB∥FD；若AB∥FD，△AEF是等腰三角形，亦可证得FE平分∠AFD．除了以上两种思路，我们还有更简洁的解法，即运用轴对称的性质：“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分”，很容易完成证明．解法三如图5，设AD与EF的交点为O，根据“折叠”，可得EF是AD的垂直平分线，即∠AOE＝∠AOF＝90°．再由AO＝AO，∠EAO＝∠FAO．可证得△AEO≌△AFO，得到AE＝AF，即△AEF是等腰三角形．例2如图6，将矩形ABCD折叠，使得点A落在CD上的E点，折痕为FG，若AD＝15cm，AB＝12cm，FC＝13cm，则DE的长度为_______cm．分析学生根据解题经验，首先想到利用AF与EF的相等关系，在Rt△DEF中，运用勾股定理解决问题；同时也注意到AB和FG的数值，很容易联想到5、12、13这组勾股数，自然会想象将AB平移到图7中GM的位置，即作GM⊥AD，得到MF＝5，但这样也难以解决问题．与例1一样，考虑到点A按要求折叠得到的点E恰好落在了DC上，这就明显提示了点E与点A的对应关系．折痕FG也就是对称轴是A、E连线的垂直平分线；同时，当折叠得到的全等关系无法解决问题时，要尝试利用折叠带来的垂直关系．于是，连结A、E，得到一个新的Rt△ADE，其中线段AD的长度为已知，并且通过AE和GF的垂直关系，易证∠FAO与∠AFO互余；再配合∠MGF与∠MFG的互余关系，从而证得∠MGF＝∠FAO，于是可以得到△MCF∽△DAE；再运用相似图形对应线段成比例的关系求得DE的长度．例3如图8，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G．(1)求证：AG＝C'G；(2)如图9，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．分析第(1)问比较简单，从略．第(2)问中的“再折叠一次”又是先确定了一组对应点后进行的折叠，所得到的EN是AD的垂直平分线是解决这个问题的金钥匙，它有三个重要意义：一是确定△EMD的的形...
