选修4－5－3几个重要不等式VIP免费

柯西不等式1．柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式①代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥__________，当且仅当__________时，等号成立．②向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤__________，当且仅当__________，或_______________________时，等号成立．③三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22.(ac＋bd)2ab＝bc|α||β|β是零向量存在实数k，使α＝kβ(2)三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥____________________.当且仅当________________或__________________________________________时，等号成立．(3)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋a23＋…＋a2n)(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥_________________________________，当且仅当________________________或______________________________________时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2b1＝b2＝b3＝0存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2bi＝0(i＝1,2,3，…，n)存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)疑点清源应用柯西不等式求最值和证明不等式时，关键是将所给关系通过“配”“凑”转化为柯西不等式的结构形式，同时注意变形的等价性和等号成立的条件.题型一利用柯西不等式求最值例2若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．解析：方法一：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组：3x＋4y＝2，x3＝y4，解得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425，最小值点为625，825.方法二：令a＝(3,4)，b＝(x，y)，则a·b＝3x＋4y，|a|＝32＋42＝5，|b|＝x2＋y2.∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式)，∴|3x＋4y|≤5x2＋y2，∴x2＋y2≥|3x＋4y|225＝425.其他同方法一．点评：使用柯西不等式的一般形式求最值的关键是结合已知条件构造两个适当的数组，变为柯西不等式的一般形式．变式探究2(2014·大连模拟)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，求2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值．解析：由柯西不等式得(2a＋2b＋1＋2c＋3)2＝(1×2a＋1×2b＋1＋1×2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48，∴2a＋2b＋1＋2c＋3≤43.当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3时，等号成立．即a＝83，b＝136，c＝76时，2a＋2b＋1＋2c＋3有最大值43.题型二利用柯西不等式证明不等式例3已知a，b，c，d均为正实数，且a＋b＋c＋d＝1，求证：a21＋a＋b21＋b＋c21＋c＋d21＋d≥15.解析：∵[(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)]·a21＋a＋b21＋b＋c21＋c＋d21＋d≥1＋a·a1＋a＋1＋b·b1＋b＋1＋c·c1＋c＋1＋d·d1＋d2＝(a＋b＋c＋d)2＝1，又(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)＝4＋(a＋b＋c＋d)＝5，∴5a21＋a＋b21＋b＋c21＋c＋d21＋d≥1.∴a21＋a＋b21＋b＋c21＋c＋d21＋d≥15.点评：①柯西不等式的一般结构为(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题．②使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小．变式探究3设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2≥1003.证明：左边＝13(12＋12＋12)a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2≥131×a＋1a＋1×b＋1b＋1×c＋1c2＝131＋1a＋1b＋1c2＝131＋a＋b＋c1a＋1b＋1c2≥13(1＋9)2＝1003.