简化解几运算方法解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。1.回归定义：圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。例1、已知分别是椭圆的左右焦点，是该椭圆上的一动点，是的外角平分线，于，求动点的轨迹方程．解：设，延长和直线相交于，则，且≌．所以，，由椭圆的定义得：．所以，即动点的轨迹方程为例2、一种酒杯是抛物线绕轴旋转而成的，将长为的玻璃棒（质地均匀）随意的放入酒杯内（杯壁足够高，能没入玻璃棒），试确定玻璃棒的平衡位置。解析：确定平衡位置即求玻璃棒中点到轴距离的最小值，如图2，应用抛物线的定义进行简捷求解：当时弦可以经过焦点，如图2所示：，所以显然当时平行于轴时最小为2、设而不求点差法---与对称、弦的中点等有关的问题，常考虑设而不求。例3、是已知椭圆上的两点，线段垂直平分线与轴交于点，求证：解：设，，AB的中点为，则，，NMxy2F图１1FQPBxyAlMOFMBA2图二式相减得，则直线L的方程为令得又，所以。例4、已知的三个顶点都在椭圆上，若，重心是椭圆的右焦点，求直线的方程．常解：因为椭圆的短轴的顶点，右焦点为重心，所以的坐标与三顶点的坐标有关，故设，则又因为在椭圆上，故由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线的方程，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？简解：由③－④得：．由题意知：，将①、②整体代入得，直线的斜率，而的中点，即，再求BC直线方程。3、用好对称例5、一直线被两直线：和：截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．常解：先设L：y=kx+b,再求出分别与、的交点（用表示），然后利用中点坐标公式求出，进而得到的方程，运算量大．简解：设分别与、交于点、，设的坐标为（），则①①②③④又因为、关于对称，所以的坐标为（），则②①×２＋②，得．可见）在：上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为．例6、如图2，在直线上任取一点，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．解：椭圆两焦点为，，作关于直线的对称点，要使所作椭圆的长轴最短，即最短，也就是最短，故点应是直线与已知直线的交点，如图2．直线的方程为，由方程组得点，由中点坐标公式得，故直线的方程为．解方程组得所求点的坐标为（－５，４）．由于，此时椭圆的方程为．4、活用平几—垂直平分线、角平分线性质、相似全等、圆、圆锥曲线、正余弦定理例7、设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点O．证：如图３，记轴与准线交点Ｅ，过Ａ作，垂足为Ｄ，则∥∥．连结，与相交于点，由相似知识得：，，根据抛物线的几何性质，，，所以，即是的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线经过原点O．例8、某人在一山坡处观看对面山顶上的一座铁塔，如图4所示，塔高米，塔所在的山高米，米，图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水xy2F1FM'1F图2AＢＯＦDＣlx图3３ANAOBCPxyQMl5图平地面的夹角为，试问此人距离水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人身高）？解：如图5，作圆过点且与直线相切，切点的纵坐标即为所求。设直线与轴交于点，则易得由相似得于是为所求.注：这道题源于著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大。”其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点（证明略）例9、已知点到两定点的距离比为，点到直线的距离为1，求直线的方程。解：如图3，在中斜边，直角边可得，在中由正弦定理得于是因此直线的方程为例10、设点，动点在椭圆上且满足，试求的取值范围。法1、设直线的方程为，代入并整理得，①②由得代入①...
