第5讲双曲线【年高考会这样考】1．考查利用双曲线的定义求动点的轨迹方程或某些最值问题．2．考查双曲线的离心率与渐近线问题．考点梳理1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0；①当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1∞，＋)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)【助学·微博】一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．两种方法求双曲线方程的两种方法：(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程；(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2“”的值，即先定型，再定量；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．考点自测1．(·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()．A．2B．2C．4D．4解析将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程－＝1，则a2＝4，所以实轴长2a＝4.答案C2．(·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()．A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.答案B3．(·全国)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()．A.B.C.D.解析因为c2＝2＋2＝4，所以c＝2,2c＝|F1F2|＝4，由题可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝2，|PF1|＝4，由余弦定理可知，cos∠F1PF2＝＝，故选C.答案C4．(·山东)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.答案A5．(·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．解析由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e＝＝，所以m＝2.答案2考向一双曲线定义的应用【例1】►(·辽宁)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．[审题视点]结合双曲线的定义与勾股定理求解．解析不妨设|PF1|>|PF2|.由双曲线方程x2－y2＝1知a＝b＝1，c＝，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，由已知条件PF1⊥PF2及勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝8，上述两式联立，解得|PF1|＝＋1，|PF2|＝－1，故|PF1|＋|PF2|＝2.答案2双曲线定义的应用(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线．(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．【训练1】(·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A．4B．8C．24D．48解析由可解得又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.答案C考向二求双曲线的标准方程【例2】►已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)，则双曲线的标准方程为________．[审题视点]分别讨论双曲线的焦点在x...
