第3讲等比数列及其前n项和基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．在等比数列{an}中，an＞0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝()A．9B．6C．3D．2解析因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log3a2a9＝log327＝3.答案C2．(·福州质量检测)记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn，若a4·a5＝2，则Ⅱ8＝()A．256B．81C．16D．1解析依题意得Ⅱ8＝(a1a8)(a2a7)(a3a6)(a4a5)＝(a4a5)4＝24＝16.答案C3．在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝()A.B.C.D.解析设公比为q，则由题意知0＜q＜1，由得a4＝3，a6＝2，所以＝＝.答案D4．(·云南统一检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为()A．log371B.C．50D．55解析设等比数列{an}的公比为q，由a4－a1＝a1(q3－1)＝78，S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝39，所以＝q－1＝＝2，解得q＝3，a1＝＝3，所以an＝3n，bn＝log33n＝n，则数列{bn}是等差数列，前10项的和为＝55，故选D.答案D5．(·兰州模拟)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是()A．－B．－5C．5D.解析由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1且an＞0，即log3＝1，解得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列．因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－log335＝－5.答案B二、填空题6．(·安徽卷)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________．解析设{an}公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，所以(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，所以q＝＝＝＝1.答案17．(·杭州质量检测)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1·a2n－1＝4n，则数列{an}的通项公式是______．解析设数列{an}的公比为q，则由题意知a1＞0，q＞0.由a1·a2n－1＝4n得a1·a1q2n－2＝4n，即(a1qn－1)2＝(2n)2，所以a1qn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.答案an＝2n8．(·甘肃诊断)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________．解析设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.答案8三、解答题9．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n∈N*)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.所以数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.10．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列．(1)解由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，an∴＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.(2)证明 点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，Tn∴＝－bn＋1，①Tn∴－1＝－bn－1＋1(n≥2)，②①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)，bn∴＝bn－1，∴bn＝bn－1(n≥2)．令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝，{bn}∴是一个以为首项，以为公比的等比数列．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3…＋＋an＝3n－1，则a＋a＋a…＋＋a等于()A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)解析 a1＋a2…＋＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2…＋＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a…＋＋a＝＝(9n－1)．答案B12．(·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋...
