课后作业(十九)三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是()A．y＝2sin(2x＋)B．y＝2sin(2x－)C．y＝2sin(＋)D．y＝2sin(2x－)2．函数y＝tan(－x)的定义域是()A．{x|x≠}B．{x|x≠kπ＋，k∈Z}C．{x|x≠－}D．{x|x≠kπ＋，k∈Z}3．(2013·韶关模拟)设函数f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则f(x)为()A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数4．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a5．(2013·佛山质检)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题6．(2013·河源模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为，则正数ω＝________．7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．8．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间[－，]上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝对称．其中真命题是________．三、解答题9．已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x，(1)求f()的值；1(2)若x∈[0，]，求f(x)的最大值及相应的x值．10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．11．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f(x＋)且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解析及答案一、选择题1．【解析】函数的最小正周期为π，排除C.又图象关于直线x＝对称，则f()＝2或f()＝－2.代入检验知选B.【答案】B2．【解析】y＝tan(－x)＝－tan(x－)，由x－≠＋kπ，k∈Z得x≠kπ＋，k∈Z.【答案】D3．【解析】f(x)＝sin3x＋|sin3x|＝周期不变．【答案】A4．【解析】∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，从而f()＝f(0)，又f(x)在[0，]上是增函数，∴f(0)＜f()＜f()，即c＜a＜b.【答案】B5．【解析】∵T＝6π，∴ω＝＝＝，∴×＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝.∴f(x)＝2sin(＋)．令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z，则6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z.易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数．【答案】A二、填空题6．【解析】由于|α－β|的最小值为，∴函数f(x)的周期T＝π，∴ω＝＝.【答案】7．【解析】依题意得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)．由x∈[0，]，得2x－∈[－，π]，2所以sin(2x－)∈[－，1]，所以f(x)∈[－，3]．【答案】[－，3]8．【解析】f(x)＝sin2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈[－，]时，2x∈[－，]，故③是真命题；因为f()＝sinπ＝－，故f(x)的图象关于直线x＝π对称，故④是真命题．【答案】③④三、解答题9．【解】(1)∵f(x)＝sinxcosx＋sin2x，∴f()＝sincos＋sin2＝()2＋()2＝1.(2)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x＋＝(sin2x－cos2x)＋＝sin(2x－)＋，由x∈[0，]，得2x－∈[－，]，所以，当2x－＝，即x＝π时，f(x)取到最大值为.10．【解】(1)∵直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又－π＜φ＜0，∴φ＝－π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－π)，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.因此y＝f(x)的单调增区间为[＋kπ，π＋kπ]，k∈Z.11．【解】(1)由x∈[0，]，得2x＋∈[，]．∴sin(2x＋)∈[－，1]，从而b≤f(x)≤3a＋b.又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1，∴g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1＝4sin(2x＋)－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin(2x＋)－1＞1，∴sin(2x＋)＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋]，k∈Z.又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为(kπ＋，kπ＋)，k∈Z.3
