2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2013北京,理1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=().A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案:B解析:{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}.2.(2013北京,理2)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析: (2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D.3.(2013北京,理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析: φ=π,∴y=sin(2x+π)=-sin2x,∴曲线过坐标原点,故充分性成立; y=sin(2x+φ)过原点,∴sinφ=0,∴φ=kπ,k∈Z.故必要性不成立.故选A.4.(2013北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.1B.23C.1321D.610987答案:C解析:依次执行的循环为S=1,i=0;S=23,i=1;S=1321,i=2.故选C.5.(2013北京,理5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=().1A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1答案:D解析:依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-x-1,故选D.6.(2013北京,理6)若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3,则其渐近线方程为().A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12xD.y=±√22x答案:B解析:由离心率为√3,可知c=√3a,∴b=√2a.∴渐近线方程为y=±bax=±√2x,故选B.7.(2013北京,理7)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于().A.43B.2C.83D.16√23答案:C解析:由题意可知,l的方程为y=1.如图,B点坐标为(2,1),∴所求面积S=4-2∫02x24dx=4-2(x312)|02=83,故选C.8.(2013北京,理8)设关于x,y的不等式组{2x-y+1>0,x+m<0,y-m>0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是().A.(-∞,43)B.(-∞,13)C.(-∞,-23)D.(-∞,-53)答案:C解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=12x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在y=12x-1下方,也就是m<-12m-1,即m<-23.故选C.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.29.(2013北京,理9)在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsinθ=2的距离等于.答案:1解析:在极坐标系中,点(2,π6)对应直角坐标系中坐标为(√3,1),直线ρsinθ=2对应直角坐标系中的方程为y=2,所以点到直线的距离为1.10.(2013北京,理10)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和Sn=.答案:22n+1-2解析:由题意知q=a3+a5a2+a4=4020=2.由a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20,∴a1=2.∴Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.11.(2013北京,理11)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD=,AB=.答案:954解析:设PD=9k,则DB=16k(k>0).由切割线定理可得,PA2=PD·PB,即32=9k·25k,可得k=15.∴PD=95,PB=5.在Rt△APB中,AB=√PB2-PA2=4.12.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案:96解析:连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的分法有4×C41A33=96(种).13.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=.答案:4解析:可设a=-i+j,i,j为单位向量且i⊥j,则b=6i+2j,c=-i-3j.由c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j,∴{6μ-λ=-1,λ+2μ=-3,解得{λ=-2,μ=-12.3∴λμ=4.14.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.答案:2√55解析:过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是C1H,故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1·C1H=C1D1·C1E1,∴C1H=2√...
