第一节平面向量的概念及其线性运算[主干知识梳理]一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的．2．零向量：长度等于的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于的向量．方向模01个单位4．平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向的向量．6．相反向量：长度相等且方向的向量．相反相同相反[基础自测自评]1．下列命题正确的是()A．不平行的向量一定不相等B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反A二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：a＋b＝；(2)结合律：(a＋b)＋c＝b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝；(2)结合律：(a＋b)＋c＝b＋aa＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则2．若菱形ABCD的边长为2，则|AB→－CB→＋CD→|＝________．解析|AB→－CB→＋CD→|＝|AB→＋BC→＋CD→|＝|AD→|＝2.答案2三、向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝．λa|λ||a|相同相反02．运算律：设λ，μ是两个实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.3．如图所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2C[由题图可得a－b＝BA→＝e1－3e2.]4．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是()A.AD→＝BC→B.AD→＝2BC→C.AD→＝－BC→D.AD→＝－2BC→B[AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→.]5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．解析由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以λ＝－k，1＝3k，解得k＝13，λ＝－13.答案－13四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得．[典题导入]给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；向量的有关概念③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4C[规律方法]1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关．[跟踪训练]1．设a0是一个单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3D[典题导入](1)如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B.BE→C.AD→D.CF→向量的线性运算D[听课记录]如图， 在正六边形ABCDEF中，CD→＝AF→，BF→＝CE→，∴BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋EF→＝BF→＋EF→＝CE→＋EF→＝CF→.答案D(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()A.23B.13C．－13D．－23A[听课记录] CD→＝CA→＋AD→，CD→＝CB→＋BD→，∴2CD→＝CA→＋CB→＋AD→＋BD→.又 AD→＝2DB→，∴2CD→＝CA→＋CB→＋13AB→＝CA→＋CB→＋13(CB→－CA→)＝23CA→＋43CB→.∴CD→＝13CA→＋23CB→，即λ＝23.答案A[跟踪训练]2．(1)(2014·四川广元模拟)如图，已知AP→＝43AB→，用OA→，OB→表示OP→，则OP→等于()A.13OA→－43OB→B.13OA→＋43OB→C．－13OA→...
