三角函数图像变换顺序详解(全面)VIP专享VIP免费

《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y=f(x)到函数y=Af()+m，其间经过4种变换：1.纵向平移——m变换2.纵向伸缩——A变换3.横向平移——变换4.横向伸缩——变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y=sinx到y=Asin()+m为例，讨论4种变换的顺序问题.【例1】函数的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y=sinx向右平移，得第2步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得第4步：纵向平移：将向上平移1，得【解法2】第1步，横向伸缩：将y=sinx的横坐标缩短倍，得y=sin2x第2步，横向平移：将y=sin2x向右平移，得第3步，纵向平移：1将向上平移，得第4步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当<0时对应右移（增方向），而m<0时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如||>1时对应着“缩”，而|A|>1时，对应着“扩”？【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y=Af()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至.如果把函数式变为方程式(y+)=f()，则x、y在形式上就“地位平等”了.如将例1中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的.故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关.这就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有的原因.【说明】为了使得4种变换量与4个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sinx变到Asin()(>0)的途中，采用如下顺序：2（1）横向平移：x→（2）横向伸缩：x+→（3）纵向伸缩：sin()→Asin()（4）纵向平移：Asin()→Asin()+m这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sinx到Asin()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由Asin()+m到sinx变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y=2sin(2－)+1的图像下移1个单位得y=2sin(2x－)，再将纵坐标缩小一半得y=sin(2x－),再将横坐标扩大2倍得y=sin(x－),最后将图象左移得函数y=sinx.【例2】将y=f(x)·cosx的图象向右平移,再向上平移1,所得的函数为y=2sin2x.试求f(x)的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”.我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】将y=2sin2x下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），得y=2sin2x－1，再将2sin2x－1左移（与正向变换右移相反）得令f(x)·cosx=2sinxcosx得f(x)=2sinx【说明】由此得原函数为y=f(x)cosx=2sinxcosx=sin2x.正向变换为sin2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x.因为2sin2x=1+sin(2x－),所以下移1个单位得sin(2x－),左移得sin2x.3三、翻折变换使>0平移变换x→是“对x而言”，由于x过于简单而易被忽略.强调一下，这里x的系数是+1.千万不要误以为是由sin(-x)左移而得.其实，x或y的系数变-1，也对应着两种不同的图象变换：由x→-x对应着关于y轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换；由f(x)→-f(x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.【例3】求函数的单调减区间.【分析】先变换-3x→3x,即沿y轴的翻折变换.【解析1】，转化为求g(x)=sin(3x－)的增区间令≤≤≤x≤（f(x)减区间主解）又函数的f(x)周期为，...