数形结合思想VIP专享VIP免费

数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题，几何问题相互转化，使抽象思维与形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义又提示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，寻求解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。一、选择题1．设的图象经过点，则的图象过点（）A.B.C.D.解：已知得，∴令，得，故选答案B.2．已知函数的图象如右，则（）A.B.C.D.解：根据图象可知（）展开得与比较系数知，选答案A.3．方程的实根个数是（）A.2B.3C.4D.以上均不对解：分别作出与直线的图象如下只须考虑时交点个数，得答案B.4．设P是圆上的任意一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.解：由线性规划知识知表示点P在直线的上方∴圆在上方，即圆心到的距离大于（或等于）1∴，∴（舍去）或，得答案D.5．已知（其中）且、是方程的两根（），则实数的大小关系是（）A.B.C.D.O12xy54ly1-1O4x解：易知是的两根∵，作的图象如下得答案A.6．平面上整点（横、纵坐标都是整数的点）到直线的最小值是（）A.B.C.D.解：直线方程化为，设整点坐标为，则距离∵∴，此时∴，此时整点为，选答案B.二、填空题7．已知实数满足，则的最大值是____________.解：可看作点P与点M连线的斜率，且P在圆上如图，易知当直线与圆处于圆中切线MA位置时，斜率最大，最大值为.8.如果不等式的解集为A,且A,那么实数的取值范围是_____.解：根据不等式解集的几何意义，作出函数与的图象如图：易知必须满足，即∴的取值范围为.9．关于的方程（）的解的个数是__________.解：方程化为，分别作出与的图象若，如图（1）；若，如图（2）易知答案为2个.ab()ygx()yfxy3AMO13xyO24xlxya21(1)yaxy1O1x21(1)yaxxyaO1xy1图（1）图（2）10．点F是椭圆的左焦点，点P在椭圆内，点M在椭圆上且使最小，则点M坐标为_______________.解：如图，易知离心率，为点M到左准线距离，则∴∴“”成立时，M是PK与椭圆的交点，得答案M.11．当时，恒成立，则的取值范围是__________.解：作出（）与的图象，易知表示以为圆心，2为半径的上半圆，为直线，如图，依题意在下方，故有：圆心到直线的距离∴得或（舍去）∴的取值范围是.12．把一个长、宽、高分别为25cm、20cm、5cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少为______________cm.解：木盒最小周长的侧面为长20cm，宽5cm的长方形，如图得∴∴正方形窗口的最小边长为（cm）.三、解答题13．解关于的方程.解：原方程化为①化为KPMFxydyx20xyxyxyxy5此时，得时，有两根分别作出直线与抛物线（）的图象如下易得答案如下：当时，原方程无解；当时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个解当时，方程有一解.14．已知函数，（1）若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围；（2）若的解集为，求实数的值.解：（1）即为分别作出（）与的图象如下当半圆过点时，，即当半圆与直线相切时，，∴（舍去）或由图形可看出与有两个交点，即原方程有两个不等实根时，（2），即为作出与的图象，由不等式解集为，知直线过点∴∴为所求.15．设关于的方程在内有相异解，（1）求的取值范围；（2）求的值.422a1a13ayO13xy2-2Oxy12-1x解：（1）原方程化为，用五点法作出在上的图象如下当直线与有两个交点时，必有（2）如图知∴.16．设，，，若，求实数的取值范围.解：∵在上是增函数∴，即作出的图象，该函数定义域右端点有三种不同的位置情况如下：①当时，即要使，必须且只需，得，这与矛盾②当时，即，要使，由图可知，必须且只需，解得③当时，即，要使，必须且只需，解得④当时，，此时，则成立综上所述，的取值范围是.3632-2aOx4ya2-2Oax4ya24ya2-2O2ax-1042a+317.已知（），求证：证明：在平面直角坐标系中，点与点是直线与单位圆的两个交点，如图从而：又∵单位圆的圆心到直线的距离由平面几何知识知即∴.yAOxBD