第二课时利用导数研究函数的极值、最值【选题明细表】知识点、方法题号求函数的极值、最值2,5,8,10,11已知极值最值求参数1,3,4,9,14,15,16综合应用6,7,12,13基础对点练(时间:30分钟)1.(2015高考安徽卷)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则下列结论成立的是(A)(A)a>0,b<0,c>0,d>0(B)a>0,b<0,c<0,d>0(C)a<0,b<0,c>0,d>0(D)a>0,b>0,c>0,d<0解析:因为函数f(x)的图像在y轴上的截距为正值,所以d>0.因为f′(x)=3ax2+2bx+c,且函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,所以f′(x)<0的解集为(x1,x2),所以a>0,又x1,x2均为正数,所以>0,->0,可得c>0,b<0.故选A.2.函数y=xex的最小值是(C)(A)-1(B)-e(C)-(D)不存在解析:y′=ex+xex=(1+x)ex,令y′=0,得x=-1,因为x<-1时,y′<0,x>-1时,y′>0,所以x=-1时,ymin=-.故选C.3.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是(D)(A)(0,1)(B)(-∞,1)(C)(0,+∞)(D)（0,）解析:f′(x)=3x2-6b,令f′(x)=0得x2=2b,由题意知,0<<1,所以0-(C)a<-(D)a>-解析:由y=ex+2ax,得y′=ex+2a,由题意,得ex+2a=0有正实根,当x>0时,ex=-2a>1,即a<-.故选C.5.(2015北京房山模拟)已知f(x)=2x3-6x2+a(a是常数)在[-2,2]上有最大值11,那么在[-2,2]上,f(x)的最小值是(C)(A)-5(B)-11(C)-29(D)-37解析:f(x)=2x3-6x2+a,所以f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),f′(x)=0.所以x=0,x=2,x∈[-2,2],在[-2,0)上f(x)为增函数,在(0,2]上f(x)为减函数,最大值为f(0)=a=11.因为f(-2)=-40+11=-29,f(2)=3,所以最小值为-29,故选C.6.(2015日照质检)等差数列{an}中的a1,a4031是函数f(x)=x3-4x2+6x-1的极值点,则log2a2016等于(A)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:易得f′(x)=x2-8x+6.因为a1,a4031是函数f(x)=x3-4x2+6x-1的极值点,所以a1,a4031是方程f′(x)=x2-8x+6=0的两实数根,由韦达定理可得a1+a4031=8.而{an}为等差数列,所以a1+a4031=8=2a2016,即a2016=4,从而log2a2016=2,故选A.7.(2015高考陕西卷)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.解析:由y=xex可得y′=ex+xex=ex(x+1),从而可得y=xex在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,所以当x=-1时,y=xex取得极小值-e-1,因为y′|x=-1=0,切点为（-1,-）,故切线方程为y=-e-1,即y=-.答案:y=-8.(2016汕头模拟)函数y=2x3-3x2-12x+5在[-3,3]上的最大值是.解析:f′(x)=6x2-6x-12,令f′(x)=0可得x=2或x=-1;可判断x=-1是极大值点,x=2是极小值点,f(-1)=-2-3+12+5=12,又f(3)=54-27-36+5=-4,从而确定最大值为12.答案:129.(2015银川模拟)函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=.解析:f(x)=x3-2mx2+m2x,f′(x)=3x2-4mx+m2.f′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),13时,f′(x)>0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.答案:110.(2015高考安徽卷)已知函数f(x)=(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.解:(1)由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)==,f′(x)==,所以当x<-r或x>r时,f′(x)<0,当-r0,因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100.11.(2015三明模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2,在x=1时有极大值3;(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)在[-1,2]上的最值.解:(1)f′(x)=3ax2+2bx,由题意可知⇒⇒a=-6,b=9.(2)由(1)知f(x)=-6x3+9x2,所以f′(x)=-18x2+18x=-18x(x-1),令f′(x)=0得x=0或x=1.f′(x)>0时,01.所以函数f(x)在(-1,0)和(1,2)上单调递减,在(0,1)上单调递增.因为f(-1)=6+9=15,f(1)=-6+9=3,f(0)=0,f(2)=-12,所以函数f(x)在[-1,2]上的最大值为f(-1)=15,最小值为f(2)=-12.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015汕头模拟)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(C)(A)3(B)6(C)9(D)2解析:因为f...
