高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题限时集训2 解三角形问题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题限时集训(二)解三角形问题(对应学生用书第83页)(限时：40分钟)题型1利用正、余弦定理解三角形1,2,3,4,5,6,9,10,11,13题型2与三角形有关的最值、范围问题7,8,12,14一、选择题1．(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于()A．2B．3C.D．A[由2bsin2A＝asinB，得4bsinA·cosA＝asinB，由正弦定理得4sinB·sinA·cosA＝sinA·sinB， sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴＝2.故选A.]2．(2017·合肥一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()【导学号：07804015】A．4πB．8πC．9πD．36πC[c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝得sinC＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，即R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.]3．(2017·长沙一模)△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为()A．6sin＋3B．6sin＋3C．2sin＋3D．2sin＋3C[设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2RsinA＝2sinA，AC＝2RsinB＝2sin，于是△ABC的周长为2＋3＝2sin＋3.选C.]4．(2016·河北武邑中学期中)在△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形D[根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.]5．(2016·海口调研)如图23，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cosA＝()图23A.B．C.D．C[ DE＝2，∴BD＝AD＝＝. ∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cosA＝，故选C.]6．(2016·湖南十三校3月联考)在△ABC中，①若B＝60°，a＝10，b＝7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3∶5∶7，则此三角形的最大角为120°；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是＜x＜.其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1D．0B[对于①，由正弦定理得sinA＝＝＞1，所以该三角形无解，①错；对于②，设三边分别为3k,5k,7k(k＞0)，最大角为θ，由余弦定理知cosθ＝＝－，所以θ＝120°，②对；对于③，当x≥3时，设最大边所对的内角为θ，由题意及余弦定理知cosθ＝＞0，解得3≤x＜；当0＜x＜3时，设最大边所对的内角为α，则cosα＝＞0，解得＜x＜3，所以＜x＜，③对．故选B.]7．(2017·合肥二模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝，则b2＋c2的取值范围是()A．(3,6]B．(3,5)C．(5,6]D．[5,6]C[由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝＝，又A∈，∴A＝. ＝＝＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin2B－cos2B＋4＝2sin＋4. △ABC是锐角三角形，∴B∈，即2B－∈，∴＜sin≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C.]8．(2017·南昌十校二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA－sinB＝，b＝，则△ABC的面积的最大值为()A．B．C．D．A[根据正弦定理由sinA－sinB＝可得a－b＝，得a2－b2＝c(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，故＝＝cosB， B∈(0，π)，∴B＝.又由b＝，可得a2＋c2＝ac＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥2ac，即ac≤3，当且仅当a＝c＝时取等号，故ac的最大值为3，这时△ABC的面积取得最大值，为×3×sin＝.]二、填空题9．(2016·云南第一次统一检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tanB＝－，那么＝________.【导学号：07804016】[在△ABC中， tanB＝－，∴sinB＝，cosB＝－.又S△ABC＝acsinB＝2c＝8，∴c＝4，∴b＝＝，∴＝＝.]10．(2017·山西五校联考)如图24所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.图24－1[由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(1...