高考数学一轮复习 专题4.1 等差数列练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第一讲等差数列一．等差数列的概念1.文字表达：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．2.数学表达式：二.通项公式1.公式an＝a1＋(n－1)d2.推广公式①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)-----几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)----可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③d＝(m，n∈N＋，且m≠n)----即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公三．求和公式：1.公式：Sn＝＝na1＋d；2等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．四．性质：①若m，n，p，q，t∈N*，且m＋n＝p＋q=2t，则am＋an＝ap＋aq=2at②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.③S2n－1＝(2n－1)an.④等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一等差数列的判断与证明【例1】已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.【答案】见解析【解析】(1)数列是等差数列，理由如下：【套路秘籍】---千里之行始于足下 a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝.【拓展1】(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．(1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】见解析【解析】(1)证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n. bn＝，∴an＝＋2＝＋2.∴数列{an}的通项公式为an＝＋2.【拓展2】．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列{an}是否是等差数列．【答案】见解析【解析】当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列．【套路总结】判断一个数列是否为等差数列的常用方法1.定义法：an＋1－an(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．即判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证2.中项性质：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*){⇔an}是等差数列；3.函数角度：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*){⇔an}是等差数列．若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．【举一反三】已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】见解析【解析】(1) －＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝(n∈N*)．考向二等差数列的性质【例2】（1）等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于（2）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝________.(4)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，－＝6，则S2020＝________.(5)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为________．【答案】（1）3（2）（3）42（4)2020(5)7【解析】（1）由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.（2）在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此＝＝＝.（3）在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(4)由等差数列的性质可得也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.故＝＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.(5)根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7.【套路总结】1.等差数列和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其...