高考数学一轮复习 专题10.6 椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第六讲椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线求离心率的三种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．注意：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用不同曲线的离心率范围进行根的取舍，否则将产生增根．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一椭圆的离心率【例1】（1）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为。（2）若将（1）中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．（3）若将（1）中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．【套路总结】(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解(2)若已知a，b，可直接利用e＝＝得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解【答案】（1）（2）（3）【套路秘籍】---千里之行始于足下【解析】解法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝．解法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．（2）在△PF1F2中， ∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，则在△PF1F2中，有＝＝，∴＝，∴e＝＝＝＝．（3）由题意，知c>b，∴c2>b2．又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2．∴e2＝>，∴e>．故C的离心率的取值范围为．【举一反三】1.设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为___________；【答案】【解析】如图，设直线交x轴于D点，因为是底角为的等腰三角形，则有，因为，所以，，所以，即，即，即，所以椭圆E的离心率2.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】设F(c，0)，则由题意，易得直线A1B2，B1F的方程分别为，将上述两个方程联立，求解可得点T的坐标为T，则M又点M在椭圆上，所以，整理得两边同时除以，可得，解得或(舍去)3.已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为。【答案】【解析】设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，所以a＝3c，所以e＝.4.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为。【答案】【解析】由题意，得椭圆的标准方程为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e2＝＝，即e＝.．考向二双曲线的离心率【例2】（1）已知点(2，3)在双曲线C：(a＞0，b＞0)上，若双曲线C的焦距为4，则它的离心率_______________；（2）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率_______________；（3）已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．若双曲线上存在点P使得，则该双曲线的离心率的取值范围是_______________．【答案】（1）2；（2）；（3）【解析】（1）由点(2，3)在双曲线C可得①．又焦距为4，所以c=2②，联立①②，解得，，所以双曲线C的离心率（2）当焦点在x轴时，由题意可得当焦点在y轴时，由题意可得(3)由正弦定理可得，即，由e>1可得点P在双曲线的右支上．又，则，即，因为点P不在x轴上，所以，即，即，结合解得【举一反三】1.设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率...