专题十六三角恒等变换考点35三角函数式的化简与求值考场高招1化简三角函数式的规律1.解读高招规律解读典例指引一角一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式典例导引1(3)二名二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“弦切互化”典例导引1(2)三结构三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等典例导引1(1)温馨提醒(1)常用技巧:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换等.(2)根式的化简常常需要升幂去根号,在化简过程中注意角的范围,以确定三角函数值的正负2.典例指引1(1)(2017广东汕头模拟)设α,β∈,且tanα-tanβ=,则()A.3α+β=B.2α+β=C.3α-β=D.2α-β=(2)(2017山西临汾一中等五校三联)若tanα-,α∈,则sin的值为.(3)设α∈,若cos,则sin=.因为α,β∈,所以α-β=-α,即2α-β=,故选D.(2) tanα-,α∈,∴,∴=-. <α<,∴<2α<π,故cos2α=-,sin2α=,∴sin=sin2α×+cos2α×.(3) α∈,∴α+.又cos,∴sin,则cos2=1-2sin2,sin2=2sincos.于是sin=sin=sin=sin2cos2.【答案】(1)D(2)(3)3.亲临考场1.(2016课标Ⅱ,理9)若cos,则sin2α=()A.B.C.-D.-【答案】D方法一:cos=2cos2-1=2×-1=-,且cos=cos=sin2α,故选D.方法二:由cos,得cosα+sinα=,即(cosα+sinα)=,两边平方得(cos2α+sin2α+2cosαsinα)=,整理得2sinαcosα=-,即sin2α=-,故选D.2.(2015课标Ⅰ,理2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-B.C.-D.【答案】Dsin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=.考场高招2三角函数求值的类型及方法1.解读高招类型解读典例指引给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形典例导引2(1)给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数式的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的典例导引2(2)2.典例指引2(1)4cos50°-tan40°=()A.B.C.D.2-1(2)(2017湖北荆州一检)若sin,则cos=()A.B.C.-D.-(3)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值是()A.-B.C.-D.(2)cos=cos2=cos2=cos=-cos2=-=-.(3)因为tanα=tan[(α-β)+β]=,所以α∈,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1.又由tanβ=->-,知β∈,所以α-β∈,从而有2α-β∈,所以2α-β=-,故选C.【答案】(1)C(2)D(3)C3.亲临考场1.(2016四川,理11)cos2-sin2=.【答案】【解析】由三角函数二倍角公式得,cos2-sin2=cos.2.(2013四川,理13)设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是.【答案】考点36与三角函数化简求值相关的综合问题考场高招3与三角恒等变换相关题型的解决策略1.解读高招题型考查内容解读典例指引三角恒等变换与三角函数的性质先利用三角恒等变换将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再求其周期、单调性、最(1)三角函数的性质问题,先化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再求解.要注意在进行此步骤之前,如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方,应根据变换的难易程度去化简,要用到二倍角公式、升幂或降幂公式,把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式典例导引3(3)(2)要正确理解三角函数的性质,关键是记住三角函数的图象,值等根据图象并结合整体代入的基本思想即可求f(x)=Asin(ωx+φ)的单调性、最值与周期三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与正弦定理、余弦定理相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等根据所给条件解三角形时,主要有两种途径:(1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于π,所以可以先根据此关系把未知量减少,再用三角恒等变换化简求解(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换...
