课后限时集训57曲线与方程建议用时：45分钟一、选择题1．若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是()A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线B[当a＞0且a≠1时，该方程表示椭圆；当a＜0时，该方程表示双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．(2019·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4xA[设点P(x，y)，则Q(x，－1)． QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.]3．已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足NP＝2NQ，GQ·NP＝0，则点G的轨迹方程是()A.＋＝1B．＋＝1C.－＝1D．－＝1A[由NP＝2NQ，GQ·NP＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝2，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为＋＝1，故选A.]4．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10C1：y2＝25②△ABC面积为10C2：x2＋y2＝4(y≠0)③△ABC中，∠A＝90°C3：＋＝1(y≠0)则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为()A．C3，C1，C2B．C1，C2，C3C．C3，C2，C1D．C1，C3，C2A[①△ABC的周长为10，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②ABC的面积为10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A＝90°，所以AB·AC＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝0，与C2对应．故选A.]5．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，OM＝OA＋OB，则点M的轨迹方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1A[设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由OM＝OA＋OB，得(x，y)＝(x0,0)＋(0，y0)，则解得由|AB|＝5，得2＋2＝25，化简得＋＝1.]二、填空题6．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)[设A(x，y)，则D.∴|CD|＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.]7．一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且AP＝2PB，则点P的轨迹方程是________．4x2＋y2＝16[设P(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝36.因为AP＝2PB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，所以即代入a2＋b2＝36，得9x2＋y2＝36，即4x2＋y2＝16.]8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．＋＝1(y≠0)[设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．]三、解答题9．已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．[解](1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．由c＝2，a＝2，得b＝2.故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，则k＞0或k＜－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)＝4.当直线l的斜率不存在时，得A，B，所以k1＋k2＝4.综上，恒有k1＋k2＝4.10.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足DM＝DP.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过...
