课后限时集训(十五)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．函数y＝f(x)在区间(－1,3)上单调递增B．函数y＝f(x)在区间(3,5)上单调递减C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值C[由函数y＝f(x)导函数的图象可知：当x＜－1及3＜x＜5时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当－1＜x＜3及x＞5时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3,5)；单调增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，故选C.]2．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－eC[函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)．又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.]3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11C．18D．17或18C[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴⇒⇒或.经检验符合题意，∴f(2)＝23＋4×4＋2×(－11)＋16＝18.]4．已知a∈R，若f(x)＝ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是()A．a＜0B．a＞0C．a≤1D．a≥0B[f′(x)＝(ax2＋x－1)，若f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，则f′(x)＝0在(0,1)上有且只有一个零点，显然＞0，问题转化为g(x)＝ax2＋x－1在(0,1)上有且只有一个零点，故g(0)·g(1)＜0，即解得：a＞0，故选B.]5．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a的值为()1A．1B．2C．eD.D[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，∴f(x)max＝f＝ln－1＝0，解得a＝，故选D.]二、填空题6．函数y＝2x－的极大值是________．－3[y′＝2＋，令y′＝0，即2＋＝0，解得x＝－1，当x＜－1时，y′＞0，当－1＜x＜0时，y′＜0，因此当x＝－1时，函数有极大值，极大值为－2－1＝－3.]7．(2018·贵州质检)设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时，t的值为________．[由题意，M(t，t2)，N(t，lnt)，∴|MN|＝|t2－lnt|，令f(t)＝t2－lnt(t＞0)，∴f′(t)＝2t－＝；当f′(t)＞0时，t＞，当f′(t)＜0时，0＜t＜，∴f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数，∴f(x)min＝f＝－ln＞0，∴当t＝时，|MN|达到最小值，最小值为－ln.]8．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．(0,1)∪(2,3)[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x＋4－＝，令f′(x)＝0得x＝1或x＝3，经检验知x＝1或x＝3是函数f(x)的两个极值点，由题意知，t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.]三、解答题9．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．[解](1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.2(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．[解](1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有即化简得解得(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在...
