知能专练（六）三角函数的图象与性质一、选择题1．(2017·山东高考)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为()A.B.C．πD．2π解析：选C y＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴最小正周期T＝＝π.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在单调递减解析：选D根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D错误．3．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为()解析：选C令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，选C.4．三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－sinC)，则＋＋的值是()A．1B．－1C．3D．4解析：选B因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1.5．(2017·嘉兴模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A>0，ω>0,0<φ<在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变1C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：选A由题意知，A＝1；由＝＋，得ω＝2；由2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，0<φ<，得φ＝，故y＝sin.只要把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得y＝sin的图象．6．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝解析：选A法一：由f＝2，得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②由①②得ω＝－＋(k′－2k)．又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，ω＝.又|φ|<π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合．法二： f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，∴f(x)的最小正周期为4＝3π，∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.二、填空题7．(2017·金华一中模拟)函数f(x)＝2cos－1的对称轴为________，最小值为________．解析：由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，即函数f(x)的对称轴为x＝kπ－(k∈Z)；因为2cos∈[－2,2]，所以2cos－1∈[－3,1]，所以函数f(x)的最小值为－3.答案：x＝kπ－(k∈Z)－38．(2017·荆州质检)函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点对称，则函数的解析式为________________．解析：由题意知最小正周期T＝π＝，∴ω＝2，2×＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．又0<φ<π，∴φ＝，∴y＝sin.答案：y＝sin9．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________.解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于－＝＝，即周期为，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点，所以0＝Atan，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝.再由图象过定点(0,1)，可得A＝1.综上可知，f(x)＝tan.故有f＝tan＝tan＝.答案：三、解答题10．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.解：(1)f(x)＝cos2x＋sin2x－sin2x2＝sin2x＋cos2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.所以sin≥sin＝－.所以当x∈时，f(x)≥－.11．(2018届高三·浙江名校联盟联考)已知函数f(x)＝2cosπx·cos2＋si...
