课后限时集训5函数的单调性与最值建议用时：45分钟一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A．y＝－xB．y＝x2－xC．y＝lnx－xD．y＝ex－xA[对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．]2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)D[由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．]3．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是()A．B．[－6，－4]C．[－3，－2]D．[－4，－3]B[由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．]4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是()A.B．C.D．D[因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.]5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数D[由题意知a＜1，若a≤0，则g(x)＝x＋－2a在(1，＋∞)上单调递增；若0＜a＜1，g(x)＝x＋－2a在(，＋∞)上单调递增，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g(x)＝x＋－2a在区间(1，＋∞)上是增函数．故选D.]二、填空题6．函数f(x)＝－的值域为________．[－，][因为所以－2≤x≤4，所以函数f(x)的定义域为[－2,4]．1又y1＝，y2＝－在区间[－2,4]上均为减函数，所以f(x)＝－在[－2,4]上为减函数，所以f(4)≤f(x)≤f(－2)，即－≤f(x)≤.]7．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．[由题意知，解得所以a∈.]8．(2019·唐山模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．[0,1)[由题意知g(x)＝函数图像如图所示，其递减区间是[0,1)．]三、解答题9．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．[解](1)证明：设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围是(0,1]．10．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝当x∈[0,2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f(x)＝又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，故实数a的取值范围为[－4，－2]．1．函数f(x)满足f(x＋2)＝3f(x)，且x∈R，若当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x＋2，则当2x∈[－4，－2]时，f(x)的最小值为()A.B．C．－D．－A[因为f(x＋2)＝3f(x)，所以f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)．因为当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x＋2，所以当x∈[－4，－2]，即x＋4∈[0,2]时，f(x)＝f(x＋4)＝(x＋3)2＋，故当x＝－3时，f(x)取得最小值，故选A.]2．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12C[由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，...
