课时作业(二十八)第28讲数列的概念与简单表示法时间/30分钟分值/80分基础热身1.现有这么一列数:2,32,54,78,(),1332,1764,….按照规律,括号中的数应为()A.916B.1116C.12D.11182.在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是()A.103B.8658C.8258D.1083.已知数列{an}满足∀m,n∈N*,都有an·am=an+m成立,且a1=12,那么a5=()A.132B.116C.14D.124.在数列{an}中,已知a1=-1,a2=0,若an+2=an+1+an,则a5=()A.0B.-1C.-2D.-35.数列{an}满足a1=2,an+1=1+an1−an,则a2019=()A.13B.-12C.2D.-36.在数列{an}中,an+1=an1+3an,若a1=2,则a10=.能力提升7.数列{an}满足an+an+1=12(n∈N*),a2=2,若Sn是数列{an}的前n项和,则S21=()A.5B.72C.92D.1328.[2018·湖北八校一联]已知数列{an}满足an=❑√5n-1(n∈N*),将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成新数列{bn},则b2017的末位数字为()A.8B.2C.3D.79.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,an+1=2Sn+3,则a5=()A.33B.34C.35D.3610.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式为.11.在数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且当n≥2时,2ananSn-Sn2=1恒成立,则S2017=.12.(15分)[2019·唐山海港中学月考]已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=12an2+12an(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{an}的通项公式.难点突破13.(5分)[2018·新疆乌鲁木齐三诊]设正项数列{an}的前n项和为Sn,若a1=❑√2-1,1an+1=Sn+1+Sn+22n+1,则Sn=.14.(5分)[2018·重庆三模]已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=.课时作业(二十八)1.B[解析]分母为2n-1,n∈N*,分子为连续的质数,所以括号中的数应为1116,故选B.2.D[解析]根据题意并结合二次函数的性质可得,an=-2n2+29n+3=-2n2-292n+3=-2n-2942+3+8418,∴当n=7时,an取得最大值,最大项a7的值为108.3.A[解析]由题意得a2=a1·a1=14,a3=a1·a2=18,则a5=a3·a2=132.4.C[解析]因为an+2=an+1+an,所以a3=a2+a1=-1,a4=a3+a2=-1,a5=a4+a3=-2,故选C.5.B[解析]由a1=2,an+1=1+an1−an,得a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,…,可知数列{an}具有周期性,且周期为4,又2019=504×4+3,故a2019=a3=-12.6.255[解析]由an+1=an1+3an,两边取倒数,得1an+1=3+1an,即1an+1-1an=3,又1a1=12,所以数列{1an}是首项为12,公差为3的等差数列,所以1an=3n-52,则a10=255.7.B[解析]因为an+an+1=12,a2=2,所以an={-32,n,为奇数2,n,为偶数所以S21=11×(-32)+10×2=72.故选B.8.B[解析]由an=❑√5n-1(n∈N*),可得此数列为❑√4,❑√9,❑√14,❑√19,❑√24,❑√29,❑√34,❑√39,❑√44,❑√49,❑√54,❑√59,❑√64,….{an}中的整数项为❑√4,❑√9,❑√49,❑√64,❑√144,❑√169,…,∴数列{bn}的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18,…,则数列{bn}的各项的末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8,…,∵2017=4×504+1,∴b2017的末位数字为2,故选B.9.C[解析]因为an+1=2Sn+3①,所以当n≥2时,an=2Sn-1+3②,由①-②得an+1-an=2(Sn-Sn-1)(n≥2),即an+1-an=2an(n≥2),即an+1an=3(n≥2),又当n=1时,a2=2a1+3=9,所以a2a1=3,满足上式,所以数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n,所以a5=35,故选C.10.an={2,n=1,6n-5,n≥2[解析]当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.故数列{an}的通项公式为an={2,n=1,6n-5,n≥2.11.11009[解析]当n≥2时,由2ananSn-Sn2=1,得2(Sn-Sn-1)=anSn-Sn2=-SnSn-1,所以2Sn-2Sn-1=1,又2S1=2,所以{2Sn}是以2为首项,1为公差的等差数列,所以2Sn=n+1,故Sn=2n+1,则S2017=11009.12.解:(1)由Sn=12an2+12an(n∈N*),得a1=12a12+12a1,则a1=1,由S2=a1+a2=12a22+12a2,得a2=2,同理可得,a3=3,a4=4.(2)因为Sn=an2+12an2①,所以当n≥2时,Sn-1=an-12+12an-12②,①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0(n≥2).由于an+an-1≠0(n≥2),所以an-an-1=1(n≥2),又由(1)知a1=1,故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.13.❑√n2+1-1[解析]∵1an+1=Sn+1+Sn+22n+1,an+1=Sn+1-Sn,∴(Sn+1+1)2-(Sn+1)2=2n+1,∴(Sn+1)2=(2n-1)+(2n-3)+…+3+(a1+1)2=(n-1)(2n-1+3)2+2=n2+1,又Sn>0,∴Sn=❑√n2+1-1.14.n·2n[解析]因为当n≥2时,an=Sn-Sn-1,故Sn=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn=2Sn-1+2n,即Sn2n=Sn-12n-1+1,故数列{Sn2n}为等差数列.易知a1=2,所以Sn2n=a12+(n-1)×1=n,故Sn=n·2n.
