§4.8三角函数模型及解三角形应用举例1．三角函数模型的简单应用2．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．4．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别．(×)(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系不能确定．(×)(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.(×)(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设α为坡角，那么cosα＝.(×)(5)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(√)1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案130°解析由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.2．已知△ABC，C为坐标原点O，A(1，sinα)，B(cosα，1)，α∈，则当△OAB的面积达到最大值时，α＝______.答案解析 S＝1－×1×sinα－×1×cosα－(1－cosα)(1－sinα)＝－sinαcosα＝－sin2α.∴当α＝时，S取到最大值．3．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为________．答案或2解析如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.4．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于________．答案解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.题型一测量距离、高度问题例1(1)(2014·四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)(2)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维点拨(1)利用正弦定理解△ABC.(2)依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)．(1)答案60解析根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝，所以BC≈2××0.60＝60(m)．(2)解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得＝，∴BD＝＝20(米)． ∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴在Rt△BED中，BE＝DBsin15°＝20×＝10(－1)(米)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30...
